三角形的角平分线、高线、中线再认识

       本文主要介绍三角形中遇角平分线、中线、高线的例题分析以及添加平行线的一般方法。

      如图1，是三角形的中线，其定义为：在三角形中，联结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；其性质为：三角形的一条中线平分这个三角形的面积以及与重心相关的性质定理；其一般添线方法为：如图2、3，构造中位线或者作平行线构造相似三角形.

       分析：结论中涉及的四条线段虽然不共线，但未构成基本图形(A型或X型基本图形)，不能直接应用图形得到结论。这时利用D为BC中点，如下图，通过作平行线，寻找“中间桥梁比”的方法构造基本图形，具体解法参照“三角形一边的平行线添线方法”。

     三角形的角平分线的定义为：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；其性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等；当出现角平分线及平行线时必出现等腰三角形；其一般添线方法为：构造等角或添加平行线(外接圆)构造相似三角形.

方法1：添加平行线构造相似三角形

从结论中可以发现，AB、AC和BD、CD隶属于△ABD与△ACD，但是这两个三角形并不相似，因此为了得到结论中的比例线段，可以通过添加平行线构造相似三角形.

同样是添加平行线，但是解法2和3就比解法1要简单得多，因此在添加平行线时，一定要充分利用求证的结论，添加的平行线所涵盖的基本图形(A型或X型)尽量包含所要求证的比例关系，使得解法得以优化。

方法2：作等角构造相似三角形

解法4和解法5通过做等角构造了相似三角形，此时又出现了一个等腰三角形，因此转移了线段，得到了结论；解法6通过作垂线，构造了相似三角形，再利用X型基本图形，构造了中间比，得到了结论.

方法3：利用外接圆构造相似三角形

解法7利用了外接圆中同弧所对的圆周角相等的性质，得到了两组相似三角形，通过引入中间比，将结论证明得到.

方法4：利用同高的三角形面积比等于底之比证明

解法8结合了两个同高的三角形的面积比等于底之比的性质，以及结合了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，利用面积法证明了结论。

      三角形的高线的定义为定义：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如下图所示为含高线的三角形的一般添线方法及双垂直模型和摄影定理模型.

方法1：作关于高线对称的等腰三角形

方法2：倍长或截半构造相似三角形

方法3：利用等腰三角形的三线合一定理

        以上三种方法根据结论中的2倍关系，通过倍长或取中点或利用等腰三角形的三线合一定理构造共边共角型相似三角形，从而通过线段的倍半关系得到结论.