A型图背景下相似三角形的复习

上图是A型图的三种变换形式，一种是斜A型（红色箭头），一种是手拉手旋转相似型（绿色箭头），还有一种是X型（蓝色箭头），其中涉及了常见的基本图形和基本模型，具体推论见链接：相似三角形的判定、性质及常见模型。本文将结合A型图及其变式问题，对A型图背景下的相似三角形进行系统复习。

分析：本题是三角形相似的存在性问题。由于在△ADE与△ABC中，已经有一组等角，∠A=∠A，因此只要∠A的夹边对应成比例即可。

       分析：本题为问题1的变式，因此当D在直线AB及E在直线AC上，因此就有了4种情况，一种是问题1的两种情况，另一种情况是在BA延长线及CA延长线上的X型，解法一致，答案也一致，只是在描述时注意E的位置在AC或在CA延长线上即可。

       思考：若AD=18，其余条件同变式1，那么本题中E的位置在哪里呢？显然，此时E在AC或AC延长线上，形成了两种A型图。

     分析：本题为共边共角型三角形的相似问题，优∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，则可以得到△ACD∽△ACB，根据AC^2=AD×AB，可得AD=9.6。

      思考：我们也可以得到，若D为边AB上一点，E为边AC上一点，若△ADE与△ABC相似时，AD的取值范围如何求？由于DE//BC时，△ADE∽△ABC，因此若△ADE∽△ACB此时，E与C重合，因此AD=9,6，即AD的取值范围为0<x<9.6.

     分析：本题为射影定理的简单运用。第(1)问中两两相似的三角形为△BCD和△ACD和△ABC。第(2)问根据题意画出图形，再根据结论找出相似三角形进行证明。

      分析：本题的第(1)问中借由△ADE∽△ABC，得到△ABE∽△ACD；本题的第(2)问由相似比的平分联想到面积比，而EO:EB恰好是△DOE与△DBE的面积比，因此本题的突破口在于如何证明△DOE与△DBE相似。