2021宝山一模25题解法分析

      2021宝山初三25题背景如下：

     📌解法分析：第1问中，通过勾画出结论中的CE、BE和DE线段，因此可以确定线段的等积式可以由▲CDE和▲BCE相似得到，相似的理由是两个45°角以及公共角∠DEC.

📌解法分析：由于∠B=∠DCE=∠BAC=45°的特殊性，因此▲ABC中有3对两两相似的三角形，分别是▲BCE∽▲CDE∽▲ADC，因此第2问有3种不同解法，如下图所示：

解法1：利用▲ACD∽▲BCE求BE的长度

解法2：利用∠B=45°，过D作垂线，解▲BDC，再利用▲CDE∽▲ACD求解

以上图形都和本题的背景相似，都是等腰三角形中含特殊角的相似问题，掌握此类问题的关键是要能够破解图中所有的相似三角形。

解法3：构造半角模型，通过旋转，将线段转化在一个直角三角形中，利用勾股定理求解

以下图形是常见的半角模型，其本质就是图形的旋转，构造全等形，往往在等腰直角三角形、正三角形、正方形中出现。（链接：“半角模型”中的问题探究)

📌解法分析：第3问中tan∠FMD为DF和MF的比值，由于∠F=90°，∠ECD=45°，因此tan∠FMD=DF:CF，而CM=√2CF，因此问题的突破口就在于如何求CM和CD的长。另一方面，BD:BC=x，因此可以设BC=k，将比例式进行转化，将相关线段用含x和k的代数式表示。

解法1：解直角三角形，硬核计算

特别的，当D与G、B重合时，可以确定定义域的范围。

解法2：利用锐角三角比计算

解法1和2都是通过构造直角三角形，借助方程思想，用代数式表示相关线段进行计算求得的。

解法3：利用锐角三角比计算

解法3利用∠MAB为直角，补成了“一线三等角”，本题的解法与2020年宝山25题解法类似，特别的，当C为中点时，一线三等角中的三个三角形两两相似.

解法4：借助“半角模型”

解法5：作平行线构造相似三角形

2021宝山卷一模的25题虽然难度有些大，但是其添线的依据都是根据常见的基本图形以及基本图形分析法进行辅助线的添加，因此，在日常的学习中，要能够善于积累常见的基本图形，以及解决问题的一般方法，辅助线的添加自然水到渠成。