无理数的由来

在2400多年前，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希怕斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实：以一个正方形的边为长度去量这个正方形的对角线，这一对角线的长度不能用有理数表示.希帕斯的发现，第一次向人们揭示了原来的有理数存在缺陷，说明并不是任意线段的长度都能用有理数表示；也说明有理数并没有布满数轴，在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”。这一伟大的发现，引起了人们对一种新的数的研究，促使人们从依靠直觉、经验而转向重视理性分析和论证，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。这种新的数是无限不循环小数，被称为无理数。数学家经过长期的坚持不懈的努力，在这一认识的基础上逐步建立了实数的理论。

一、几何证明

将两个边长为1的小正方形通过剪裁拼成一个面积为2的大正方形，如何拼？如何求拼成后的大正方形的边长？

拼法1：将两个正方形分别对折剪成两个等腰直角三角形，然后将这4个等腰直角三角形拼成一个大正方形；

拼法2：将其中一个正方形对折两次，剪成4个等腰直角三角形，然后将这4个等腰直角三角形拼在其中一个正方形上，从而形成一个大正方形。

由此可得大正方形的面积为2，但是在有理数范围，无法得到某个数的平方得2，因此引入了“√2”，继而将有理数的范围扩充到实数范围。

二、代数证明

三、实数的分类