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圆中的分类讨论问题(三角形的存在性)
妍小青
>《待分类》
2021.07.19
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以圆为背景的分类讨论问题主要涵盖三角形的存在性(等腰、直角、相似三角形的存在性)、点在线段或其延长线上或梯形的存在性等。本节主要围绕三角形的存在性进行分类讨论。
解法分析:
本题是圆背景下的综合题,
问题的解决围绕着全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质(相似三角形的面积比等于底之比)以及合理利用锐角三角比
。第1问
联结半径构造全等
即可,第2问
借助X型基本图形
可以构建函数关系式;第3问的直角三角形的存在性是本题的难点,首先先
根据其存在性画出对应的图形
,
利用角的关系排除不存在的情况
,
其次再利用cos∠C求出相应的线段大小
,
根据第2问定义域的范围舍去不合题意的x的值。
链接:2017上海中考25题
解法分析:
本题是圆背景下的综合题,
问题的解决围绕着垂径定理、等腰三角形的三线合一进行展开。
本题的第1问的解决
围绕着垂径定理和X型基本图形
进行展开;本文的第2问是等腰三角形的存在性讨论,
根据题意画出符合条件的图形,然后利用角的关系舍去不存在的情况,利用等腰三角形的三线合一定理添加辅助线,最后利用锐角三角比求出相应线段的长度
。
链接:2020长宁二模25题
解法分析:
本题是圆背景下的综合题,
问题的解决围绕着等角的余角相等,锐角三角比、等腰三角形的三线合一、解直角三角形展开。
本题的第1问利用∠B和∠BDE分别是∠PDA和∠A的余角进行解决;第2问利用∠B的三角比,将BD用含x的代数式表示,定义域的确定要注意P与A、C重合时的情况;第3问是
相似三角形的存在性,先找到等角,再进行分类讨论,根据角的大小关系排除不可能的情况,再利用37°和53°角的三角比解▲BPD
,求AD的长。
链接:2020金山、奉贤一模25题
链接:2018 青浦二模25题
对于圆背景下三角形的分类讨论问题,首先根据题意画出图形,直观的图形对于问题的解决起到一半的作用,然后再进行分类讨论,对于等腰三角形的存在性问题往往与“等腰三角形的三线合一定理”或“等角的三角比相等”或“A.A判定三角形相似”进行展开;对于直角三角形的存在性问题往往与“锐角三角比”及“勾股定理”展开;对于相似三角形的存在性,先找到一组等角,然后从角的角度进行分析更加简便。当题目中出现37°、53°等特殊角时,要灵活构造直角三角形,解三角形,求得对应线段的长度。
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