圆中的分类讨论问题(三角形的存在性)

以圆为背景的分类讨论问题主要涵盖三角形的存在性(等腰、直角、相似三角形的存在性)、点在线段或其延长线上或梯形的存在性等。本节主要围绕三角形的存在性进行分类讨论。

解法分析：本题是圆背景下的综合题，问题的解决围绕着全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质(相似三角形的面积比等于底之比)以及合理利用锐角三角比。第1问联结半径构造全等即可，第2问借助X型基本图形可以构建函数关系式；第3问的直角三角形的存在性是本题的难点，首先先根据其存在性画出对应的图形，利用角的关系排除不存在的情况，其次再利用cos∠C求出相应的线段大小，根据第2问定义域的范围舍去不合题意的x的值。

链接：2017上海中考25题

解法分析：本题是圆背景下的综合题，问题的解决围绕着垂径定理、等腰三角形的三线合一进行展开。本题的第1问的解决围绕着垂径定理和X型基本图形进行展开；本文的第2问是等腰三角形的存在性讨论，根据题意画出符合条件的图形，然后利用角的关系舍去不存在的情况，利用等腰三角形的三线合一定理添加辅助线，最后利用锐角三角比求出相应线段的长度。

链接：2020长宁二模25题

解法分析：本题是圆背景下的综合题，问题的解决围绕着等角的余角相等，锐角三角比、等腰三角形的三线合一、解直角三角形展开。本题的第1问利用∠B和∠BDE分别是∠PDA和∠A的余角进行解决；第2问利用∠B的三角比，将BD用含x的代数式表示，定义域的确定要注意P与A、C重合时的情况；第3问是相似三角形的存在性，先找到等角，再进行分类讨论，根据角的大小关系排除不可能的情况，再利用37°和53°角的三角比解▲BPD，求AD的长。

链接：2020金山、奉贤一模25题

链接：2018 青浦二模25题

对于圆背景下三角形的分类讨论问题，首先根据题意画出图形，直观的图形对于问题的解决起到一半的作用，然后再进行分类讨论，对于等腰三角形的存在性问题往往与“等腰三角形的三线合一定理”或“等角的三角比相等”或“A.A判定三角形相似”进行展开；对于直角三角形的存在性问题往往与“锐角三角比”及“勾股定理”展开；对于相似三角形的存在性，先找到一组等角，然后从角的角度进行分析更加简便。当题目中出现37°、53°等特殊角时，要灵活构造直角三角形，解三角形，求得对应线段的长度。