三角形内接正方形的作法

     背景介绍：（沪教版九年级第一学期第二十四章第38页例7)如图1，正方形DEFG的边EF在▲ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上。已知▲ABC的边长BC长60厘米，高AH为40厘米，求正方形DEFG的边长。

       定义：如果四边形的四个顶点分别在三角形的各条边上，那么就称该四边形为此三角形的内接四边形。特别的，当该四边形是正方形时，则称正方形为此三角形的内接正方形。如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，那么四边形DEFG为▲ABC的内接四边形。特别地，当四边形DEFG为正方形时，正方形DEFG为▲ABC的内接正方形。

      原理剖析：某学生对三角形内接正方形的作法进行了探索

      第一步 如图2，在▲ABC内部作一个正方形DEFG，点D在边AB上，但是该正方形顶点G并没有落在AC边上。若将正方形DEFG逐渐放大，如图3，就能实现点G落在AC边上的目的。

       第二步 作射线BG，交AC于点N，如图4.

      第三步 点N确定了，过N向底边BC作垂线，垂足为Q，过N作NM平行BC交AB于M点，并由此作得矩形MPQN，如图4所示，矩形MPQN即为▲ABC中的内接正方形。

问题1：如图3，点K在哪条直线上，为什么？

解法1：利用∠GBF和∠KBJ的三角比相等，证明B、G、K三点共线.

解法2：过点H作BC的平行线交BG于K'，证明KK'重合，得B、G、K三点共线.

解法3：利用解析法说明BG和BK的解析式相同，得B、G、K三点共线.

问题2：如图5，将▲ABC放在每一个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上。若四边形DEFG是△ABC的内接正方形，一条边落在AB上，其余两点分别落在AC和CB边上，请在图5所示的网格中，用尺规画出该正方形（保留痕迹），并求出正方形的边长。

问题3：定义 如果四边形的四个顶点分别在扇形的半径或者弧上，那么就称该四边形为此扇形的内接四边形。特别的，当该四边形为正方形时，则称正方形为此扇形的内接正方形。

如图6，请运用三角形内接正方形的画法，探索在扇形AOB内部作内接正方形的方法。

以上内容部分参考自朱丽霞《数学阅读为学生的思维进阶插上翅膀》