巧用翻折和旋转解决线段中的和差关系

线段本身不会做“加减法”，所谓线段“加减问题”，其核心还是证明线段相等，通过全等把进行加减的线段嫁接到同一条线段上是解决这类问题的关键。

因此对于线段的“转化”就显得至关重要，我们往往可以利用翻折和旋转的相关性质添加辅助线，将需要证明数量关系的线段转移到一条线段上，找到其中的和差关系。

例题1：

解法分析：本题的背景是一个等腰直角三角形，MN是经过点A的一条直线，由于MN可以绕点A进行旋转，因此除了题目中右图的图示外，随着MN的旋转还有2种情况，如下图：

如上图，就是MN旋转后的3种图示，也是全等三角形背景下常见的“一线三直角”模型，利用同角的余角先等，都可以得到∠BAE=∠ACF，继而得到▲ABE≌▲CAF.

例题2：

解法分析：本题需要寻找AE、AD和BE的数量关系，由于AE、AD、BE不在一直线上，因此需要进行线段的转换，由于∠B和∠D互余，因此考虑旋转▲BEC，将BE转化到直线AD上的DP处，再证明AB=AP，达到线段转化的目的。

例题3：

解法分析：本题第一问需要寻找DE、BF和EF的数量关系，由于BF、DE、EF不在一直线上，因此需要进行线段的转换，由于AD=AB，因此考虑旋转▲ADE，使AD与AB重合，得▲ABG，再证明▲ABG≌▲AEF，达到线段转化的目的。

解法分析：本题第二问的题目变成了“F在BC延长线上，E在CD延长线上”，虽然图形的位置发生了变化，但是解决问题的方法还是不变的。和例题1相同，本题第二问还是旋转▲ADE，还是需要证明第一问中的2对全等三角形，继而发现线段的数量关系。

与例题1相同，尽管点的位置发生了变化，但是证明全等的方法，以及需要证明的等角或等线段还是不变的，即位置虽变，但方法不变。

当题目背景中有相等的边或互补的角时，往往可以考虑通过旋转某一个三角形构造全等三角形，继而实现线段的转化。

例题4：

解法分析：本题中没有相等的边或互补的角，但是出现了CD平分∠ACB，因此可以借鉴翻折的思想，翻折▲ACD或▲BCD。而∠A=2∠B，角的倍半关系又为构造等腰三角形创设了条件，因此达到线段转化的目的。

当题目背景中有角平分线或角的倍半关系时，往往可以考虑通过翻折某一个三角形构造全等三角形，继而实现线段的转化。

例题5：

解法分析：本题中既出现了角平分线，又有∠D和∠C互补的关系，因此本题既可以利用翻折▲ADE或▲BCE，又可以通过旋转▲AED和▲BCE，达到构造全等，转化线段的目的。

值得注意，当题目背景中出现了平行线和角平分线，必会出现等腰三角形。

例题2中出现了角平分线，可以通过翻折▲ACD构造全等三角形，进行线段转化。

对于线段的和差关系，当题目背景中有相等的边或互补的角时，往往可以考虑通过旋转某一个三角形构造全等三角形，继而实现线段的转化。当题目背景中有角平分线或角的倍半关系时，往往可以考虑通过翻折某一个三角形构造全等三角形，继而实现线段的转化。同时，对于辅助线的书写需要规范，对于运动方式的不同，辅助线的书写也要注意，何时截取，何时延长，需要根据运动后的三角形的具体位置进行描述。