南宁二中初中部大学区2020-2021学年秋季学期期中考试T25

原题：

如图，以矩形ABCD的边CD为直径作圆O，点E是AB的中点，连接CE交圆O于点F，连AF并延长交BC于点H。

（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由。

（2）求证：AH是圆O的切线。

（3）若AB=6，CH=2，求AH的长。

(1)四边形AECO为平行四边形。证法1：E为AB中点，AE=AB，CO=CD  又AB∥CD，AB=CD  ∴ AE=CO，AE∥CO   ∴四边形AECO为平行四边形。

证法2：连EO，AC交于点P，∵ E、O为AB、CD中点， ∴AP=PC，OP=EP   ∴四边形AECO为平行四边形。

(2)证法1：连OF， ∵AO∥EC     ∴  ∠AOF=∠OFC， ∠AOD=∠FCD  又∵∠FOD=2∠FCD  ∴∠FOA=∠DOA  又∵DO=FO，AO=AO  ∴△ADO≌△AFO（SAS）  ∴∠ADO=∠AFO=90°   即OF⊥AF   即AH为圆O的切线。

证法2：连OF、DF，DF与AO交点为Q，∵CD为直径，∴∠CFD=90°，∴CD⊥CE   又AO∥CE  ∴AO⊥DF  又OD=OF  ∴∠DOA=∠FOA （三线合一） 又∵DO=FO，AO=AO  ∴△ADO≌△AFO（SAS）  ∴∠ADO=∠AFO=90°   即OF⊥AF   即AH为圆O的切线。

(1)解法1：CH=2，则FH=2，设BH=x，则AD=x+2，AH=x+4,  在Rt△ABH中用勾股定理得AH²=AB²+BH²

解得x=  ∴AH=x+4= 13/2

解法2：（射影定理）连OH，∵AD、AF、HC、HF均为切线，∴∠AOH=90°   设AH=x，则AF=x-2，在Rt△AOH中，用射影定理得OF²=AF·FH 得x= 13/2

解法3：连接OH，∵ CO=3，CH=2  ∴OH=  ∵∠COH=∠CDF=∠OAH  ∴Rt△OAH∽Rt△COH      ∴AH= 13/2（相似的解法还有许多中，此题第三问偏向于简单，都不需要用到相似）