题型一 分离参数求参数范围
例1 已知函数f(x)=aex-2x+1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)>0对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-2x+1,
则f′(x)=ex-2,
思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
跟踪训练1
题型二 等价转换求参数的范围
例2 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥1/2x3+1,求a的取值范围.
解 方法一 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,
f′(x)=ex+2x-1.
思维升华 对不适合分离参数的不等式,常常将参数看成常数,直接构造函数,转化成求函数的最值问题.
跟踪训练2 已知函数f(x)=ex-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x∈[0,+∞)时,都有f(x)>-a,求实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)=ex-a(x∈R),
当a≤0时,f′(x)>0,
∴f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f′(x)>0⇒x>ln a,
解得1<a<e2.
综上,函数a的取值范围为(-1,e2).
题型三 双变量的恒(能)成立问题
∴h(x)max=h(1)=1,
故a≥1.
∴实数a的取值范围是[1,+∞).
思维升华 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价变换,常见的等价转换有
(1)∀x1,x2∈D,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x-1-aln x (a<0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
所以实数a的取值范围为[-3,0).
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