高考数学之解密导数命题点对点突破(全国通用)技能篇
16 导数中有关x与ex,lnx的组合函数问题
在函数的综合问题中,常以x与ex,lnx组合的函数为基础来命题,将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起,发挥导数的工具作用,应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合,注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用,突出对数学思维能力和数学核心素养的考查.
六大经典超越函数的图象
考点一 x与lnx的组合函数问题
(1)熟悉函数f(x)=h(x)lnx , (h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0))的图象特征,做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.
【例题选讲】
分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题,利用数形结合思想进行求解;(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解.
解析(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1-ax-1=ln x-ax,
点评 1.极值点问题通常可转化为零点问题,且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反,若已知极值点求参数的取值范围,一定要对结果进行验证.解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法,可根据式子的结构特征,进行选择和调整,一般可转化为最值问题进行求解.
2.对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题,要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识,能够灵活利用导数研究函数的单调性,能够恰当地构造函数,并根据区间的不同进行分析、讨论,寻求合理的证明和解不等式的策略.
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