第7招：一刀两端 - 分离参数法解恒成立问题

在解答导数中参数范围及恒成立类命题中,分离参数并构造函数利用图像关系解答有时能起到事半功倍的效果,分离参数法让解题的思路更加简洁明了,需要注意的是,分离参数法要结合定义域关系,在处理恒成立问题时也要考虑符号是否会出现变化。

常见形式:

直接分离,不等式或等式一端只有一个参数,可看作一条水平的直线,另一端通过构造函数,对函数进行求导得到单调性,极值点的关系,然后由数形结合作答;

间接分离,不等式或等式一端保留点斜式结构,可看作过一个定点的直线,其参数为直线斜率,另一端通过构造函数,对函数进行求导得到单调性,极值点的关系,然后由数形结合作答;

需要注意的是,分离参数法是一种解题思路,有时在解答复杂问题时,还要结合换元,重构函数,分类讨论等进行作答。

(2020全国Ⅱ卷文)已知函数

.

(1)若

,求

的取值范围;

(2)设

,讨论函数

的单调性.

【答案】见解析

【解析】(1)由题意可得

;

令

,则

.

当

时,

,当

时,

.所以

在区间

单调递增,在区间

单调递减.当

时,

取得最大值为

;

所以

的取值范围为

.

(2)

,

.

取

,得

,

则由(1)知,当

时,

,即

,故当

时,

,从而

.

所以

在区间

 

单调递减.

1.（福建三明2019期末质量检测）已知函数

.

(1)求函数

的单调区间;

(2)若

恒成立,求实数

的取值范围.

2.已知

.

(1)讨论函数

的单调性;

(2)若函数

存在

个零点,求实数

的取值范围.