第4招：逢凶化吉 - 函数与方程

本节内容在高考中主要考查函数零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理判断零点所在区间,一般是与函数的图象和性质结合起来考查.综合性较强,一般以选择题、填空题形式出现,解答时要充分利用函数与方程、数形结合思想.

1.函数零点定义:对于函数

,

,把使

的实数

叫做函数

,

的零点.

2.函数零点存在性定理:若函数

在区间

上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

,则函数

在区间

内有零点,即存在

,使

,这个

就是方程

的根.

几个等价关系:

(1) .方程

有实根

函数

的图象与

轴有交点

函数

有零点.

(2).方程

的实根

函数

的图象与

轴有交点的横坐标

函数

有零点.

(3).方程

的实根

函数

与

的图象交点的横坐标

函数

的零点.

(2020天津)已知函数

.若函数

恰好有4个零点,则

的取值范围是( )

A. 

 B. 

C. 

 D. 

【答案】D

【解析】

注意到

,要使

恰有4个零点,只需方程

恰有3个实根即可,令

,即

与

的图象有

个不同交点.

因为

,

当

时,此时

,如图1,

与

有

个不同交点,不满足题意;

当

时,如图2,此时

与

恒有

个不同交点,满足题意;

当

时,如图3,当

与

相切时,联立方程得

,

令

得

,解得

(负值舍去),所以

.

综上,

的取值范围为

,故选:D.

 

1.已知函数

若存在实数

,使函数

有两个零点,则

的取值范围是__________.

2.(17年江苏卷14题)设

是定义在

且周期为

的函数,在区间

上,

,其中集合

,则方程

的解的个数是__________.

3.(2019年江苏)设

,

是定义在

上的两个周期函数,

的周期是

,

的周期是为

,且

是奇函数,当

时,

,

,其中

,若在区间

上,关于

的方程

有

个不同的实数根,则

的取值范围是__________。