第21招：殊途同归 - 平面向量之极化恒等式

(2017北京卷文)已知点

在圆

上,点

的坐标为

,

为原点,则

的最大值为        .

【答案】6

【解析】如图,设

的中点为

,由极化恒等式可得

,又因为

,所以

【点评】由

的长为定值,联想到极化恒等式,在三角形模型时极化恒等式,需要先找到合适的中点和路线,怎么办呢?自然想到线段

的中点,然后写出极化恒等式即可求得最大值

向量问题极化恒等式的运用

1 适用题型

向量题目中有中点或能构造中点的数量积问题

2 公式推导

3 几何意义

向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

极化恒等式类型

(1)极化恒等式平行四边形模型:在平行四边形

中,

;

(2)极化恒等式三角形模型:在

中,

为

的中点,则

2 解题步骤

(1)把两个向量转化为同起点向量;

(2)构建三角形或平行四边形,取连接两个向量终点的线段的中点,把数量积转化为某个向量模的值或者最值;

(3)利用题目中条件求值,或者由特殊条件找到动点的最佳位置,进而求出范围或者最值

1.    (2017 年全国卷)已知

是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则

的最小值是__________

2:(2019天津卷文)在四边形

中,

,

 ,

 ,

 ,点

在线段

的延长线上,且

,则

__________:

3:(2018天津卷理)如图,在平面四边形ABCD中,

若点E为边CD上的动点,则

的最小值为 ( )

:

A.

           B.

           C.

             D.