30立体几何解法第三招：颠倒乾坤-等体积法求距离

立体几何解法第三招：颠倒乾坤-等体积法求距离

在解答立体几何求棱锥体积或求点到平面距离类命题中,主要需要把握的原则是棱锥以哪个面作底面时高是容易得到或容易通过转换得到的,尤其是已经出现线面垂直关系时,解答中往往需要向现有垂直关系靠拢,通过转换找到所求体积与已有垂直条件的体积之间的关系解答。

常见形式:

一、如果一条直线平行一个平面,那么该直线所有点到平面距离相等;

二、如果一条直线与一个平面相交,那么当直线上两个点在平面同侧时,这两个点到平面的距离之比等于这两个点与线面交点距离之比;

三、如果一条直线与一个平面相交,那么当直线上两个点在平面两侧时,这两个点到平面的距离之比等于这两个点与线面交点距离之比;

需要注意的是,有时不仅棱锥的高需要通过转换得到,棱锥的底面积也需要通过转换得到,在解答时要先分析清楚解题脉络再作答,尽量不要边做边想。

2019全国Ⅰ卷文)如图直四棱柱

的底面是菱形,

,

,

分别是

的中点.

(1)证明:

平面

(2)求点

到平面

的距离.

【答案】见解析

【解析】

(1)连结

相交于点

,再过点

作

交

于点

,再连结

,

.

分别是

的中点.于是可得到

,

,

于是得到平面

平面

,

由

平面

,于是得到

平面

(2)

为

中点,

为菱形且

,又

为直四棱柱,

,又

,

,设点

到平面

的距离为

由

得

,解得

所以点

到平面

的距离为

1.如图所示,在四棱锥

中,底面

为平行四边形,

,

,且

平面

.

(1)证明:

平面

(2)若

为

的中点,求点

到平面

的距离.

2.如图,在底面是正方形的四棱锥

中,

平面

,

为PA上一动点,

于点

.

(1)求证:

;

(2)若

为

的中点,

,求点

到平面

的距离.