立体几何解法第一招：蓝银囚笼
-借助标准几何体求外接球问题
标准几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心的位置问题,其中球心的确定是关键.
1.定义法确定球心:在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球球心的如下结论.①正方体或长方体外接球的球心是其体对角线的中点.②正棱柱外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.③直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.④正棱锥外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.⑤若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
2.构造正方体或长方体:若球面上4点构成的3条线段两两互相垂直,且,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据长方体的体对角线长等于球的直径来求解.
3.空间问题平面化,过球心或接点作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系、球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,进而求解.如球与其他旋转体组合时,通常作它们的轴截面解题;球与多面体组合时,通常过多面体的一条侧棱和球心及“接点”作截面图进行解题.
4.由性质确定球心的一般方法:先找一个面的外心,然后由外心作这个面的垂线,由于垂线上的点到该面各顶点的距离相等,得到球心为垂线上某一点,然后根据这点到该面顶点的距离等于到其他顶点的距离确定球心,或者找两个面的外心,分别由两个外心作两个面的垂线,两个垂线的交点即为球心.
【2021届江西省名校高三上学期第二次联考】在三棱锥中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中,,即,又,∴为等边三角形
根据题意,有如下示意图:
如图,设的外接圆的圆心为,连接,,,连接PH.
由题意可得,且,.
∴由上知:且,又,
∴,由,平面ABC.
设O为三棱锥外接球的球心,连接,,OC过O作,垂足为D,则外接球的半径R满足,, ,代入解得,即有,
∴三棱锥外接球的表面积为.
故选:A.
1.(原创) 直三棱锥中,底面,,,若该三棱柱的侧面积为,则三棱柱外球球体积的最大值为__________
2. (原创)如图四边形中,为等边三角形,中,,且, 为的中点,将沿折起,设点在平面的投影为,在折叠过程中,当时,三棱锥外接球的表面积为__________
3. (原创)如图,四棱锥中,平面平面, ,底面为平行四边形,,, 为的中点,为边上的任一点,中,, 为的中点,当三棱锥体积最大值时,三棱锥外接球的表面积为__________
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