37：倒行逆施 - 存在问题
圆锥曲线中,经常会遇到这样一类问题:是否存在顶点,使XXX成立、是否存在定直线使XXX成立等问题。对于这类问题,我们通常采用反正法,即假设存在,由此进行推断假设的真假性,这就是我们在这要给大家介绍的倒行逆施。
(1)求解存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的几何元素或参数值,就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的几何元素或参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
(2)解决存在性问题应注意以下几点:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
(3)解决存在性问题的解题步骤:
第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组);
第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在;
第三步:得出结论.
(2019全国I卷文)已知点,关于坐标原点对称,,过点,且与直线相切.
(1)若在直线上,求的半径;
(2)是否存在定点,使得当运动时,为定值?并说明理由.
【思路分析】(1)由条件知点在线段的中垂线上,设圆的方程为,然后根据圆与直线相切和圆心到直线的距离,半弦长和半径的关系建立方程组即可;
(2)设的坐标为,然后根据条件的到圆心的轨迹方程为,然后根据抛物线的定义即可得到定点.
【解析】故点,且在直线上,
点在线段的中垂线上,
设的方程为:,则
圆心到直线的距离,
又,在中,
,
即①
又与相切,②
由①②解得或,
的半径为2或6;
(2)线段为的一条弦,圆心在线段的中垂线上,
设点的坐标为,则,
与直线相切,,
,
,
的轨迹是以为焦点为准线的抛物线,
,
当为定值时,则点与点重合,即的坐标为,
存在定点使得当运动时,为定值.
1.(淮安市调查测试)已知椭圆,点、分别是椭圆的左焦点、左顶点,过点的直线(不与轴重合)交于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线,使得点在以线段为直径的圆上,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
2.(南通市第二次调研)在平面直角坐标系中,已知点是动点,且的三边所在直线的斜率满足。
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若是轨迹上异于点的一个点,且,直线与交于点.
问:是否存在点,使得和的面积满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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