概率统计专题44：特殊赋值 - 二项式定理赋值求系数

赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的.实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想,在高考题中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显.二项式定理在高考中一般以小题形式出现,分值为5分,常考的题型为求二项展开式某一项的系数或者系数和的问题.

(

·浙江卷·12)二项展开式

,则

______;

______.

【答案】 80; 122

【解析】二项式

展开式的通项为

,令

,则

,故

.

当

时,

,①

当

时,

.②

①

②得,

,

可得

.

故答案为:80;122

【点评】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题,利用二项式展开式的通项公式直接可求

,通过将

赋值为

,联立方程组可求出

的值.考查学生的数学运算能力,是一道基础题.

1.含变量的恒等式:是指无论变量在已知范围内取何值,均可使等式成立.所以通常可对变量赋特殊值得到一些特殊的等式或性质.

2.二项展开式与原二项式呈恒等关系,所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数(或二项式系数)的等式.

3.赋值法普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如

,

的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令

即可;对形如

的式子求其展开式的各项系数之和,只需令

即可.应用这一思想和方法是解决二项展开式中系数和的基本思路,也是证明有关组合数恒等式的方法.

常用赋值举例:

(1)设

,

①令

,可得

;

②令

,可得

;

③令

,可得各二项式系数的和

;

④令

,可得

,

即

结合③可得

,

即奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等都等于

.

(2)设

,

①令

,可得展开式中的常数项

;

②令

,可得展开式的各项系数的和

;

③令

,可得偶次项系数的和与奇次项系数的和的差

;

由②③即可求出偶次项系数的和

和奇次项系数的和

的值.

1.(2019广东广州一模)

的展开式的各项系数和为32,则该展开式中

的系数是( )

A.5

B.10

C.15

D.20

2.(原创)设

,则

__________;

__________.

3.(原创)多项式

,若

,则

__________.