2021年全国高考理科数学甲卷立体几何题的解法探究

遵义市南白中学          钟永胜

2021年全国高考理科数学甲卷立体几何题难度比较大，是对空间几何位置关系的一种探索，怎样在考试的紧张时间里把握住题目的实质，从而顺利解题，对学生的空间想象能力要求相当高。在准确审题，抓住水平面和垂直于水平面的几何要素基础上，建立空间立体感，从而建立恰当的空间直角坐标系，用向量证明第一问的线线垂直就显得较为轻松。而在解决第二个问题时，对计算的能力要求就较高。下面我们从应用空间向量的解法和几何解法的角度探索这道题的解法：

题目：

（1）证明：

（2）当

为何值时，面

与面

所成的二面角的正弦值最小?

解法一（向量法）：

以

为坐标原点，分别以

所在直线为

轴建立空间直角坐标系，如图．

所以

，

．

解法二（几何法）：

如图，作BC的中点H，连接EH、B₁H,B₁H∩BF=Q可得EH⊥BF,

又△BFC≌△B₁HB,得∠FBC=∠HB₁B,∠B₁BQ=∠BFC,所以∠B₁QB=∠FCB=90^O,即B₁H⊥BF,又B₁H∩EH=H,BF⊥平面EHB₁A₁,ED在平面EHB₁A₁内,所以BF⊥DE

(2).如图2，作C₁B₁的中点N，作BC的中点H,并连接FN,FH，延长FN交BB₁延长线于M，交BC的延长线于G，连接GE并延长GE交AB于点P，连接PM交AB于D.由题可得：EH⊥BC,FN⊥FH此时面

与面

所成的二面角的正弦值最小为

,此时

而

所以

用几何法解这个题好不好？你有更好的方法吗？可以留言谈谈你的看法哟