构造法求数列通项

对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法．

构造法1　一阶线性递推(形如a_n＋1＝pa_n＋q，p≠0，其中a₁＝a型)

(1)若p＝1，数列{a_n}为等差数列；

(2)若q＝0，数列{a_n}为等比数列；

(3)若p≠1且q≠0，数列{a_n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．

例1　在数列{a_n}中，若a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋3，求{a_n}的通项公式．

解　∵a_n＋1＝2a_n＋3，∴a_n＋1＋3＝2(a_n＋3)，

又a₁＋3＝4，∴数列{a_n＋3}是首项为4，公比q＝2的等比数列，

∴a_n＋3＝4·2^n－1＝2^n＋1，∴a_n＝2^n＋1－3.

变式　若例1中“a_n＋1＝2a_n＋3”变成“a_n＋1＝2a_n＋3ⁿ”，其他条件不变，求{a_n}的通项公式．

解　　∵a_n＋1＝2a_n＋3ⁿ，

∴a_n＋1＋λ·3^n＋1＝2(a_n＋λ·3ⁿ)，

即a_n＋1＝2a_n－λ·3ⁿ，∴λ＝－1，

即a_n＋1－3^n＋1＝2(a_n－3ⁿ)，

又a₁－3＝－2，∴{a_n－3ⁿ}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，

∴a_n－3ⁿ＝－2·2^n－1＝－2ⁿ，∴a_n＝3ⁿ－2ⁿ.

构造法2　二阶线性递推(形如a_n＋1＝pa_n＋qa_n－1，其中a₁＝a，a₂＝b型)

可以化为a_n＋1－x₁a_n＝x₂(a_n－x₁a_n－1)，其中x₁，x₂是方程x²－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a_n－a_n－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a_n}．

例2　(1)在数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝3，a_n＋2＝3a_n＋1－2a_n，则a_n＝________.

答案　2ⁿ－1

解析　a_n＋2－a_n＋1＝2(a_n＋1－a_n)，

∵a₂－a₁＝2，∴{a_n－a_n－1}为首项为2，公比也为2的等比数列，

a_n－a_n－1＝2^n－1(n>1)，

n>1时，a_n＝(a_n－a_n－1)＋(a_n－1－a_n－2)＋…＋(a₂－a₁)＋a₁

＝2^n－1＋2^n－2＋…＋2＋1

＝1－2n1－2＝2ⁿ－1.

显然n＝1时满足上式，

∴a_n＝2ⁿ－1.

(2)已知在数列{a_n}中，a₁＝5，a₂＝2，a_n＝2a_n－1＋3a_n－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．

解　∵a_n＝2a_n－1＋3a_n－2，

∴a_n＋a_n－1＝3(a_n－1＋a_n－2)，

又a₁＋a₂＝7，{a_n＋a_n－1}形成首项为7，公比为3的等比数列，

则a_n＋a_n－1＝7×3^n－2，①

又a_n－3a_n－1＝－(a_n－1－3a_n－2)，

a₂－3a₁＝－13，{a_n－3a_n－1}形成首项为－13，公比为－1的等比数列，

则a_n－3a_n－1＝(－13)·(－1)^n－2，②

①×3＋②得，4a_n＝7×3^n－1＋13·(－1)^n－1，

∴a_n＝74×3^n－1＋134(－1)^n－1.

构造法3