对于数列通项公式的求解,除了我们已经学习过的方法以外,根据数列递推公式的特点,还有以下几种构造方法.
构造法1 一阶线性递推(形如an+1=pan+q,p≠0,其中a1=a型)
(1)若p=1,数列{an}为等差数列;
(2)若q=0,数列{an}为等比数列;
(3)若p≠1且q≠0,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
例1 在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3,求{an}的通项公式.
解 ∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3),
又a1+3=4,∴数列{an+3}是首项为4,公比q=2的等比数列,
∴an+3=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.
变式 若例1中“an+1=2an+3”变成“an+1=2an+3n”,其他条件不变,求{an}的通项公式.
解 ∵an+1=2an+3n,
∴an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n),
即an+1=2an-λ·3n,∴λ=-1,
即an+1-3n+1=2(an-3n),
又a1-3=-2,∴{an-3n}是首项为-2,公比q=2的等比数列,
∴an-3n=-2·2n-1=-2n,∴an=3n-2n.
构造法2 二阶线性递推(形如an+1=pan+qan-1,其中a1=a,a2=b型)
可以化为an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列{an-an-1},若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{an}.
例2 (1)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=________.
答案 2n-1
解析 an+2-an+1=2(an+1-an),
∵a2-a1=2,∴{an-an-1}为首项为2,公比也为2的等比数列,
an-an-1=2n-1(n>1),
n>1时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=1-2n1-2=2n-1.
显然n=1时满足上式,
∴an=2n-1.
(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.
解 ∵an=2an-1+3an-2,
∴an+an-1=3(an-1+an-2),
又a1+a2=7,{an+an-1}形成首项为7,公比为3的等比数列,
则an+an-1=7×3n-2,①
又an-3an-1=-(an-1-3an-2),
a2-3a1=-13,{an-3an-1}形成首项为-13,公比为-1的等比数列,
则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2,②
①×3+②得,4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,
∴an=74×3n-1+134(-1)n-1.
构造法3
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