鬼谷子考徒弟——一道经典逻辑推断题

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鬼谷子门下有两个弟子，都是了不起的兵法大家，一曰孙膑，一曰庞涓。忽有一日，鬼谷子把孙膑和庞涓叫到身旁，对他们说道，“你们跟为师时日也不短了，为师今日就出一个题目，来考考你们，看看你们有没有长进。” ¬
孙膑和庞涓皆躬身向鬼谷子言道：“弟子们准备好了，请师父出题。” ¬
鬼谷子抚髯一笑，说道：“为师从二到九十九之间选两个整数。为师把这两个数的和告诉庞涓，把这两个数之积告诉孙膑。你们两个不能互相告诉对方这两个数的和与积分别是多少，请问你们有没有办法算出这两个整数分别是几？” ¬
鬼谷子说完，就把庞涓招手叫到跟前，在他耳边轻声说出两个数之和；然后又招手把孙膑招到跟前，在耳边低声说出两个数之积。然后笑道，“两个徒儿，为师的题目出完了，现在看你们的了。” ¬
孙膑和庞涓互相望了望。庞涓首先开口道，“虽然我不能确定这两个数是什么，但是我可以肯定，你也不知道这两个整数是什么。” ¬
听庞涓这么一说，孙膑立刻笑了，他说道，“庞师兄，我本来确实不知道这两个数是什么。听你这么一说，我倒是知道这两个数是什么了。” ¬
庞涓也仰天大笑道，“孙师弟，既然你都这么说了，我也知道这两个数是什么了。” ¬
说完，两个人一同把心中所想的两个数默写在手掌上，然后伸出手掌让师父鬼谷子观看。鬼谷子看后哈哈大笑，连声说道，“正是这两个数。” ¬
请问这两个数分别是多少? ¬
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答案:4和13 ¬
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   答案并不重要，重要的是你运用了什么思维和方法。本题从逻辑否定中得出了逻辑肯定的结论。有点特殊，呵呵！ ¬
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　题目解答分析：对于这两个数，（逐步缩小范围法）有
定义： ¬
¬（X、Y不相等）
P：庞涓手上的数字 ¬
S：孙膑手上的数字 ¬
X、Y为这两个数字，2≤X<Y≤99 ¬
那么： P=X+Y ¬
   S=XY ¬
¬
事件1：庞涓首先开口道，“虽然我不能确定这两个数是什么，但是我可以肯定，你也不知道这两个整数是什么。” ¬
事件2：听庞涓这么一说，孙膑立刻笑了，他说道，“庞师兄，我本来确实不知道这两个数 ¬是什么。听你这么一说，我倒是知道这两个数是什么了。” ¬
事件3：庞涓也仰天大笑道，“孙师弟，既然你都这么说了，我也知道这两个数是什么了。” ¬
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造成本题难解的原因是由于信息的不对等，信息一点点地给出，答案一点点地显现。孙膑的信息较精确（他分解因式的可能组合一般较少），首先解出，其次是庞涓，然后是我们。我们的推理思维是从逻辑上排除不可能，剩下的就是可能的了。这样就减小了运算量。如果你一个个个去试，除非你是计算机！那么我们采取的排除步骤就是尽可能地在前一步的排除效率大点，便于快速缩小范围，减小运算量。 ¬
排除效率：比如下面的步骤(B)中我们否定P>53（排除了144个）的就比(A)中我们否定P=5，6，196，197（排除了4个）的效率大。 ¬
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推理过程： ¬
一、       事件1发生前，庞涓手上的数字P是5-197之间的数字。即： 5≤P≤197。 ¬
   已知：2≤X<Y≤99。 ¬
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庞涓不知道又能确定孙膑肯定不知道这两个数，此时我们可以有以下推论： ¬

缩小范围：既然两人在开口之前均无法确定答案，那么
(A)若P=5，有且仅有P=2+3，S=2×3； ¬
若P=6，有且仅有P=2+4，S=2×4； ¬
若P=196，有且仅有P=97+99，S=97×99； ¬
若P=197，有且仅有P=98+99，S=98×99； ¬
¬以上这四种情况可排除。
那么有： 7≤P≤195。 ¬
¬
(B) P一定不是大于53的数。也就是否定了55≤P≤195。因为大于53的数可分为以下两种情况讨论： ¬
1.假设55≤P≤152，P可以表达为P=53+（P-53），如果孙膑拿到的S恰好等于53（P-53），这个数只能表达为53×（P-53），孙膑一下子就给出答案了，这就与庞涓的第一句话相矛盾。 ¬之所以选53是因为这个素数乘以2就恰好大于100了。
2.假设153≤P≤195，P可以表达为P=97+（P-97），证明方法同上。 ¬
那么有： 7≤P≤54。 ¬
¬
（C）庞涓的和数P一定是奇数。假设P是偶数，由歌德巴赫猜想（100之内的大于4的偶数已经证明是成立的，你可自己归纳证明），我们进一步假设P可以表达为两个不相等的奇质数之和。那么，孙膑就有恰好不经提示给出答案的可能——这就与庞涓的第一句话相矛盾。
7≤P≤53， ¬且P为奇数。
¬
（D）庞涓手上的P不能表达为2+M。（M为质数） ¬
假设P=2+M成立，而孙膑拿到的S正好等于2M；那么，孙膑一下子就给出答案了——这就与庞涓的第一句话相矛盾。 ¬
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这样上面的24个数就只剩下： 11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53。 ¬
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¬（E）（我们注意到大素数在解决本题中的效率：53，13，因53乘2超界，13的平方超界，下面讨论的17就是比13大点的超界问题，因13出现的超界问题39已经在D步骤中排除了）
假设P=51，而孙膑拿到的S正好等于17×34，S只有S=17×34这一种组合方式，那么，孙膑一下子就给出答案了——这就与庞涓的第一句话相矛盾。 ¬
¬（此步讨论的是形如3M的P且M不小于13）

满足以上条件的这样的数字只剩下10个：11，17，23，27，29，35，37，41，47，53。 ¬
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定义：集合C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53} ¬
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二、       以上结论孙膑可通过庞涓的第一句得出。他知道，P为以上10个数中的一个。P必拆成两数之和，一奇一偶，且至少有一个数是合数：如果偶的那个恰为2，我们上面的步骤已经保证奇的那个必是合数；如果偶的那个不是2，是合数。也就是说，S在拆为两个数的时候，必须把所有的2都分到其中的一个数中去，即2^n不能拆开。孙膑才能排除其他组合，得出了唯一一组解。 ¬
¬
三、       庞涓根据孙膑的话，将P的其他组合排除，得出了唯一一组解。那么他采取的是什么办法来排除呢？将S分解因式，讨论以下几种特殊情况： ¬
¬
1. 若 S=2^n*a  (n为自然数且n>1) ¬
2. 若 S=2*a*b ¬
3. 若 S=2*a^2（a、b均为奇质数且不相等） ¬
对于第1种，孙膑由P为奇数马上得出组合（2^n，a）。于是孙膑可以马上说自己知道了答案：（2^n，a）。 ¬
对于第2种，孙膑必然会在（2，ab）与（2a，b）至少两组之间苦恼不已（a与b可互换）。让我证明为什么至少两组，数学水平高者来证明一下这个猜想吧！我只知道若有被排除的那一组，是因为其和不在集合C中。那么，显然与孙膑的话矛盾。也就是说，庞涓将P拆为两个数时可以否定这种组合。 ¬
对于第3种，可以拆为（2，A^2 ）、（2A，A）。对于（2A，A），2A与A之和3A是否在C中？我们一看，没有。所以孙膑可以马上说自己知道了答案：（2，A^2 ）。 ¬
¬
庞涓将P拆为两个数的所有的可能列出，有且仅有一种组合是满足条件的。然后他才能宣布他也知道了。我们在否定C中的某个数时，运用的是否定“庞涓听了孙膑的话后，得出了至少两组解”这种与事件3矛盾的情况，将C集合中的数一一试过。因为正面强攻才难，所以就侧面反证之。 ¬
¬
假设P=11，你是庞涓，有以下四种组合，开始验证吧： ¬
（2，9） S=2 ×3^2 孙膑有唯一一组解（2，9）； (S=2*a^2型） ¬
（3，8） S=2^3×3 孙膑有唯一一组解（3，8）；（S=2^n*a 型） ¬
（4，7）    不用再拆了，庞涓已经傻脸了：现在就有两种选择啦！ ¬这就与庞涓的第二句话矛盾，所以否定11。
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假设P=17，你是庞涓，有以下四组： ¬
  （2，15） S=2 ×3×5可拆为（2，15），（3，10），（5，6）。孙膑傻脸了：我真的不知道啊！（3，10）3，10之和不在C中，故排除。孙膑有两组解（2，15），（5，6）。这就与孙膑的话矛盾。故P=2+15这种拆法是不对的；（S=2*a*b 型） ¬
（3，14）S=2×3×7。这与上面的类型相同，此种拆法不对； ¬
（4，13）S=2^2 ×13。证法同上面11中的（3，8）。孙膑有唯一一组解（4，13）； ¬
（5，12）S=2 ^2×3×5，这与将17拆为2+15的证法大同小异。孙膑无语中……这种拆法是不对的； ¬
（6，11）S=2 ×3×11。这与上面的2+15类型相同，此种拆法不对； ¬
（7，10）S=2 ×5×7。这与上面的类型相同，此种拆法不对； ¬
（8， 9）S=2 ^3×3×3，可拆为（8，9），（3，24）。孙膑有两组解，此种拆法不对； ¬
因而，庞涓也是有唯一一组解：（4，13）。此为本题的一组解。我们假设余下的都不是的。庞涓将P拆为两个数的所有的可能列出，有且仅有一种组合是满足条件的。然后他才能宣布他也知道了。我们只要证明余下的数拆分时得出“庞涓有至少两组解”这种与事件3矛盾的情况。因为正面强攻难，所以就侧面反证之。 ¬
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通过以上三的推理过程，以23为例，只要能构筑形如 2^n+a 或2+a^2这样的组合两对，就可以将其排除啦。手推最快速的就是将23与4，8，16分相减，如差为质数，则为一种组合。显然有（4，19），（16，7）。 ¬
对于27有（4，23），（8，19）； ¬
对于29有（16，13）；我们来看（4，25），这个4×25还有另一种拆法20×5，因为20与5之和不在C中，故（4，25）也可以算作一种组合； ¬
对于35有（4，31），（16，19）； ¬
对于37有（8，29），（32， 5）； ¬
对于41有（4，37）；我们来看（32，9），这个32×9只有这一种拆法啦，你拆成96×3就出界啦； ¬
对于47有（4，43），（16，31）； ¬
对于53有（16，37）；我们来看（32，21），这个32×21只有这一种拆法啦，理由同上面的41…… ¬
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后记： ¬
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根据庞涓第一句话，我们得出了P在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}中。这条信息孙也知道了。他结合自己的积S马上排除除至少一个可能，得出唯一的一个答案。现在该庞推断了。他通过孙传递的信息——孙排除至少一个可能，得出唯一的一个答案，对自己的P进行分析排除，也得出唯一的一个答案。最后根据鬼谷子的结论，他们的答案是相同的。 ¬
各种解题思路不同的就是，怎么把上述的步骤化成可人工简单笔算的，在最短的时间里分析出答案。我写得有点啰嗦，因为这是推理嘛，占有信息越多越好。

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