一
如图所示，学生点数的不是长度，而是面积。学生往往会混淆图形周长与面积概念。真正难理解的是面积概念。
二
面积是包含于一定边界内7的二维平面的量。
儿童常常在不理解面积概念的情况下学习规则，仅仅是把两个长度乘起来。
学前儿童需要发展对二维排列的理解，能够把两个长度解释为这些排列纬度的测量值。最后一句难理解，个人理解，理解用两个长度值（乘积就合二为一）表示一个二维排列的测量值（面积）。
面积测量的概念：
面积的属性：给二维空间或平面的量以某种定量。
建立单位的基本概念：
1.平等分割：把二维空间分割为等面积部分（常常是全等）的心理操作。
插一个题外话，下图书中提到“纸饼干”，想起之前看到台湾省王圣昌老师在一份教学设计里出现过多处“分饼干”，当时我还提出“饼干易碎”不宜作为平均分学具或情境……有可能他指的就是“纸饼干”。
2.单位重复：理解并使用相等单位的重复策略进行面积测量。儿童需要把二维空间建构成一个有组织的单位阵列来完成面积计算中的思维操作。
3.累积和加法：图形可以分解或组合成相同面积的区域。
4.构建空间：儿童需要建构一个阵列，真正从二维角度理解面积。
守恒：面积守恒，一个区域被分割重组等操作后，面积不变。
三
初始的面积概念-建构阵列-理解和实施精确的面积测量
儿童学会建立一种对面积的乘法理解。个人以为，这种理解非常非常难，即便到了小学毕业，仍会有一部分学生不能真正理解长方形面积用长宽乘积的道理所在。
学前儿童经历一系列夯基活动，让儿童在心理上把一个区域分割为能够数数的相等子区域。
简单点数单位来发现面积-规则教学
四
面积测量的学习路径：
1.前面积量的识别：表现出一些特定的面积概念。
2.面积量识别：感知到空间内的物体和空间。
3.物体覆盖和计数：关注到结构的某些特征，并能够完全覆盖它。
4.完全覆盖和计数：画出完全覆盖一个特定区域的图，没有任何空隙或重叠，近似于若干行。
5.面积单位的关系和重叠：定量。儿童按行点数单个的单位。基于某种直觉的行或列的结构画出完整覆盖图。认识到不同面积大小的单位会形成不同测量值。
6.最初的组合结构：把一个正方形单位既看作一个单位，也看作单位构成的一个成分。对空间形成结构需要图画支持。
7.面积的行列结构：能够分解和重组部分单位形成的一个整体的单位。大多具备面积守恒以及面积相加的组合推理。
8.阵列结构：通过对两个维度进行线性测量或其他类似指标，以在一行或一列中重复倍数的方式来判断面积。对长方形面积公式有抽象理解。无需绘画。
五
物理上体积测量有两条路径：
1.用正方体单位“塞满”一个类似于三维阵列的空间。
2.用重复某种流体单位的方式充满某个三维空间，该流体单位表示了某种容器的形状。
六
体积测量的学习路径：
1.体积量的识别：识别体积或容积属性。
2.体积填充：能够比较容器的大小。小容器（小体积）填充大容器（大体积）并点数数量。能够通过身体或心理的校准比较物体。能够至少引用物体的两个维度。能够借助第三个容器比较，作传递性推理。
3.体积计量：初步的空间结构化能力。通过物理上或心理上对三维的校准和对三维清晰的认知，完成物体的比较。
4.体积单位的关系和重复：用简单的单位去填充容器，能精准地计数。清楚地在大小和单位数量之间建立联系。
5.最初的三维组合结构：把立方体理解为对空间的填充，但没有使用分层和乘法的思维。能够通过重复铺满整个空间，会解释内部或隐藏的立方体。能够分解空间。
6.三维的行和列的结构：能够灵活协调体积的填充、平铺和建构性特征。比较偏爱加法，初步的乘法比较。
7.三维阵列结构：长方体体积公式有一个抽象的理解。偏爱乘法比较、坐标比较、复杂的加法比较。建构或绘画不再必需。
七
自始至终，应该明确讨论长度测量、面积测量和体积测量中单位结构的相似之处和差异之处。
角的概念理解：1.由同一点延伸出的两条射线所形成的图形；2.把一条线或一个平面与另一条线或平面建立重合或平行关系所需要的旋转量。我第一次见到第二种理解，很有意思，很数学，把角度转化成平行关系来表述。
上图中“迷思概念”与台湾省的“迷思”，是怎样的先后传承关系？多半是台湾省引用美国的。这里的“迷思概念”与先前提到的台湾省使用的“保留概念”很相似。
八
角和旋转测量的学习路径：
1.对角的直觉建构：在日常情境中能直觉使用某些角度测量的概念。
2.对角的隐性使用：隐性地使用某些角概念——包括平行和垂直。
3.角的匹配：能正确对角进行匹配。情境中清晰辨别平行和非平行。能把角分为大的和小的。
4.角度大小的比较：把角和角的大小与形状和情境区别开，并比较角的大小。不同方向上识别直角和其他大小的等角。简单的旋转。
5.角度的测量：在两个主要方面理解角和角的测量，并根据角和角的测量标准化的、可概括的概念和过程来表征多种情境。
九
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