Matlab中进行一元线性回归分析的方法

Matlab中实际上有多个函数可以实现回归分析的功能，如regress，polyfit，lsqcurvefit等。这里简单总结一下polyfit函数的用法：

polyfit函数基于最小二乘法，使用的基本格式为：

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1. p = polyfit(x,y,n)  
2. [p,S] = polyfit(x,y,n)  
3. [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)  

其中每个命令中的n为多项式拟合的次数，当n为1时，即为一次拟合（很多情况下等价于一元线性回归）。p是n+1维参数向量p(1)，p(2)….那么拟合后对应的多项式即为p(1)*x^n + p(2)*x^(n-1) +…+ p(n)*x + p(n+1)。S是规模为1×1的结构数组，包括R（系数矩阵的QR分解的上三角阵），df（自由度），normr（拟合误差平方和的算术平方根）。

求出p之后我们需要作出拟合函数，那么只需要使用命令：

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1. f=polyval(p,x)  

然后plot出x和f即可。另外需要强调一点的是，往往需要在回归分析的时候给出相关系数（correlation coefficient），实际上也很简单，我们可以使用命令：

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1. r=corrcoef(x,y);  

这样得到的r即为相关系数矩阵，其中r(1,2)=r(2,1)为相关系数，其值在[-1,1]之间，1表示最大程度的正相关，-1表示最大程度的负相关。相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

另外，转载两条使用polyfit的注意事项：

1. 使用polyfit命令进行多项式拟合时要注意的是，向量x（其中元素作为自变量）中不重复的元素个数m，和拟合阶数k需要满足m>=k+1.简单分析：k阶拟合需要确定k+1个未知参数（如1阶拟合y = ax + b需要确定a和b两个参数），故而至少需要k+1个方程，故而需要至少k+1个不同的已知数对（x，y），由于函数中x只能对应一个y，故而需要至少k+1个不同的x。

2. polyfit只适合于形如y = a[k]*x^k + a[k-1]*x^(k-1) + …. + a[1]*x + a[0]的完全的一元多项式的数据拟合。

最后贴一张很简单的拟合结果图：