对圆周三球细线剪断前后的瞬态分析

1 引言

近日，有网友通过“豫见物理”公众号留言，称遇到一道难题，看看能不能用Workingmodel仿真一下。笔者定睛一看，这是一道被约束在光滑圆周上的三个小球的动态分析问题，难度很大，而且Workingmodel中没有理想的圆环结构，需要创造性的思维才能仿真。

2 题文

一光滑圆环竖直固定在地面上，三个完全形同的质量均为m的小球穿在圆环上，其中小球A位于圆环的最高点，小球B、C位于同一高度，小球A和B之间、小球A和C之间用等长的细绳相连，小球B和C用轻质弹簧相连。两绳和弹簧围成正三角形，三个小球均处于静止状态，此时弹簧伸长，且F弹=mg。小球A与B的拉力为F1，剪短小球A和C之间的细绳的瞬间，小球A和B之间的拉力变为F2，求F1与F2的比值。

插图

3 基于Workingmodel的动力学仿真

在此，笔者采用了替代方案，用轻杆约束代替圆环约束，用细线和弹簧连接三球，依照题设设置初值条件。即三球的重力均为1N。设置右侧细线的有效作用时间为0~2秒，超过2秒右侧细线拉力消失。

运行程序，可以观察左侧细绳在2秒前后的变化情况。

剪短AC绳前

剪短AC绳后

仿真发现，在0~2秒内，左侧细线的拉力为F1=2.732N；2秒以后，左侧细线的拉力为F2=1.366N。

显然，F1=2F2。

4 求解思路

在右侧细线剪断前，左侧细线的拉力比较容易求解，不再赘述；在右侧细线剪断的瞬间，左侧细线的拉力会发生突变，但是拉力突变导致两球沿绳方向的加速度分量相等，因此沿圆周切线方向的加速度也必然相等。

利用牛顿第二定律分别表示出两球的加速度，并令两者相等，即可求解出突变后的拉力值。