列车通过竖直圆内侧轨道的临界速度到底是多少？

过山车是一种惊险刺激的娱乐项目，也是高中物理命题的热点，以过山车为背景的物理试题层出不穷。

而这里面，过山车通过轨道最高点时的极限速度问题是高频考点。

那么，这有值得讨论的地方么？

问题提出

我们常用离心轨道来演示小球在轨道最高点的运动与受力问题。若小球能经过轨道最高点，则其在最高点时的向心力不得小于mg，由向心力公式可知，小球在最高点时的速度不得小于（gR）^0.5。

那么，如果是一列列车通过竖直圆轨道，列车的最小速度应该是多少呢？还能不能利用上面的分析结论呢？

物理建模

为了便于寻找规律，微主在WSC.WORKING MODEL.2D中进行了模拟分析，得出了一些十分奇妙的结论，现分享如下。

设计思路

由于WSC.WORKING MODEL.2D中没有内侧圆轨道，可以用轻杆支撑小球，相邻小球之间用轻杆连接，通过测定轻杆对小球的作用，就可以分析出一列列车充满竖直圆轨道时，最高处的车厢的受力情况。

临界条件是最高点的小球不受竖直杆的作用力；脱轨条件是最高点的小球受到竖直杆的拉力。

初值条件

1.重力加速度为10m/s^2

2.轨道半径为3m；

3.小球质量为0.4kg；

4.小球角度间隔角度为30°；

5.小球旋转速度为9.5m/s。

显示最高点小球的重力、支持力和两侧相邻小球的作用，调节小球的运动速度，观察轨道支持力的变化，并最终使小球在轨道最高点受到的轨道作用力为零。

观察发现，当小球的转动速度为9.5m/s时，小球经过轨道最高点时不再受到轨道的挤压力，处于临界状态。

此时，两侧小球对处于最高点的小球各自施加了一个较大的拉力，这两个拉力的合成为小球自身重力的2倍。

因为此时小球的向心加速度为3g，而重力产生的加速度为g，因此两侧小球对处于最高点的小球各自施力的合成必然等于小球重力的2倍。

理论分析

微主进行的理论分析与上述仿真模拟结论相一致，推理过程主要运用了微元法，涉及大量公式运算。

探究结论

显然，如果列车很长，充满了整个竖直圆形轨道，则列车的临界速度将不再是（gR）^0.5，而是（3gR）^0.5。

显然，如果列车较长，但是不能充满整个竖直圆形轨道，则列车的临界速度将介于（gR）^0.5和（3gR）^0.5之间。

温馨提示

在曲线运动中，基于质点的运动规律，不要轻易拓展应用到质点系中。

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