有小伙伴问,渐近线与函数图像本身有没有交点?无限逼近算不算交点?
这个问题比较难啊。虽然物理老师们都明白点儿数学,但搞这种理论的东西,还是胆子特别小的。纠缠先有鸡还是先有蛋、要么是一个针尖上能站几个天使这类问题,物理上似乎不太关心。
这个问题得澄清,要不电场线和等势面啥啥的,未来总有人会把话说粗糙了。分解一下,这个问题包括:a.什么是渐近线,b.渐近线和函数图像有没有交点,c.无限逼近算不算交点。
因为高一、高二高中数学没讲极限,微积分更是一片白地,所以只能用最粗糙的话说了。
画出来函数图象,观察就可以知道两条渐近线:和。这样就知道渐近线的一部分定义:
⑴当时,这时函数值会趋向于某个定值,则是渐近线;
⑵当时,这时,则是渐近线。
先看出来一条竖直渐近线是。还有一条型斜渐近线:
令,此时应有,知,即;
仍令,由,知。
知斜渐近线为。
这样,得到渐近线定义的另一部分,即斜渐近线:
当时,有,则为函数曲线的斜渐近线。
一般我们了解渐近线,往往是由前面两类函数推门而入,于是先入为主,误以为渐近线与函数曲线本身总是无限逼近而不能有交点,或者认为有限范围内可以有交点、无限远处必须无限逼近不能相交。
这种认识是错误的。渐近线真的常见的那些少有交点,但不是不能有交点,比如函数。当时,,显然这是一条水平渐近线,交点多多。
有些人用无穷小来说渐近线与函数曲线在时趋近于0,就说交点在无限远处。这个时候,还必须得杠一下:因为这个说法,显然把无穷小和0整混淆了。细节的说明,数学史里有,是牛顿发明了微积分后,贝克莱主教(好像是这个名字)和他杠,说牛顿弄了个无穷小,像个幽灵,最后好像是法国的柯西把这件事弄平复了。
粗略地看,0是实数轴上的一个静止的点、“死”的点,而无穷小是一种变化趋势,比如当时,就趋于无穷小。显然,无穷小不是数字,这也说明无穷小和0不能划等号。概括地说,0是无穷小,但无穷小的内涵比0更多,它包含0。
所以渐近线与函数图像有那种无限逼近型的趋势时,一样还是没有交点的。
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