渐近线和函数图像有没有交点？

有小伙伴问，渐近线与函数图像本身有没有交点？无限逼近算不算交点？

这个问题比较难啊。虽然物理老师们都明白点儿数学，但搞这种理论的东西，还是胆子特别小的。纠缠先有鸡还是先有蛋、要么是一个针尖上能站几个天使这类问题，物理上似乎不太关心。

这个问题得澄清，要不电场线和等势面啥啥的，未来总有人会把话说粗糙了。分解一下，这个问题包括：a.什么是渐近线，b.渐近线和函数图像有没有交点，c.无限逼近算不算交点。

因为高一、高二高中数学没讲极限，微积分更是一片白地，所以只能用最粗糙的话说了。

1．常见的的水平渐近线和竖直渐近线

画出来函数图象，观察就可以知道两条渐近线：和。这样就知道渐近线的一部分定义：

⑴当时，这时函数值会趋向于某个定值，则是渐近线；

⑵当时，这时，则是渐近线。

2．常见的的一条斜渐近线

先看出来一条竖直渐近线是。还有一条型斜渐近线：

令，此时应有，知，即；

仍令，由，知。

知斜渐近线为。

这样，得到渐近线定义的另一部分，即斜渐近线：

当时，有，则为函数曲线的斜渐近线。

3.渐近线和函数曲线有没有交点？

一般我们了解渐近线，往往是由前面两类函数推门而入，于是先入为主，误以为渐近线与函数曲线本身总是无限逼近而不能有交点，或者认为有限范围内可以有交点、无限远处必须无限逼近不能相交。

这种认识是错误的。渐近线真的常见的那些少有交点，但不是不能有交点，比如函数。当时，，显然这是一条水平渐近线，交点多多。

4.不要杠无限逼近就是有交点，杠就是你对

有些人用无穷小来说渐近线与函数曲线在时趋近于0，就说交点在无限远处。这个时候，还必须得杠一下：因为这个说法，显然把无穷小和0整混淆了。细节的说明，数学史里有，是牛顿发明了微积分后，贝克莱主教(好像是这个名字)和他杠，说牛顿弄了个无穷小，像个幽灵，最后好像是法国的柯西把这件事弄平复了。

粗略地看，0是实数轴上的一个静止的点、“死”的点，而无穷小是一种变化趋势，比如当时，就趋于无穷小。显然，无穷小不是数字，这也说明无穷小和0不能划等号。概括地说，0是无穷小，但无穷小的内涵比0更多，它包含0。

所以渐近线与函数图像有那种无限逼近型的趋势时，一样还是没有交点的。