连续函数

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

中文名连续函数

外文名continuous function

应用学科数学、计算机科学等

适用领域范围数学、金融、IT

定义

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

设函数

在点

的某个邻域内有定义，如果有

，则称函数在点

处连续，且称

为函数的的连续点。

设函数在区间

内有定义，如果

在

的左极限存在且等于

，即

，那么就称函数在点

左连续。

设函数在区间

内有定义，如果

在

处右极限存在且等于

，即：

，那么就称函数

在点

右连续。

一个函数在开区间

内每点连续，则为在

连续，若又在

点右连续，

点左连续，则在闭区间

连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

等价定义

设变量x从它的一个初值x₁变到终值x₂，我们把

叫做x在x₁处的增量（或变化量）。注意增量

可正可负。

同样地，当自变量从x₁变化到x₂时，相应的函数值也发生变化。我们把

叫做函数值的增量（或变化量）。

再来分析连续的定义。若令

，则

等价于

，于是

等价于

。

而根据极限的定义，

，当

时，有

因此，得到函数连续的另一个定义：

这就是说，如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x₀时f(x)有没有极限，与f(x)在点x₀处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x₀处连续，则表示f(x₀)必定存在，显然当Δx=0（即x=x₀）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

间断点

如果函数

在点

处不连续，则称

在点

处间断，并把

称为

的间断点。

间断有以下三种情况：

1.在点

处

没有定义，在

为发散状态（如图，y=tanx在x=kπ+π/2处无定义，并且在x=kπ+π/2处发散到无穷大）；

2.在

无定义，趋近与

时连续波动（如图，y=sin(1/x)在x=0处无定义，并且在0的某个去心邻域内无限振荡）；

3.虽然

有定义，且

存在，但不等于

（如图，分段函数在x=0处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。

连续函数

参考资料

[1]胡亚红.用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性[J].丽水学院学报,2010,32(5):8-10.

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