也谈极值问题 | 一道考研数学题引发的思考

1.引子

(2018年数学一第16题)将长为2米的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

乍一看,这道考研题是在考查最值问题.与常见的数学题不同的是,这道题题干里却没有出现任何数学符号.因此,在问题分析阶段中,我们应当学会用数学语言将问题重述一遍。

数学语言:设圆的周长为,正方形周长为,正三角形周长为,求三个图形面积之和

的最小值.

分析:显然注意到三者之间的关系为

自然地,我们为了求的极值需要使用拉格朗日乘数法,这是由于三个未知量之间有条件约束.而对于无条件极值问题,我们一般考虑黑塞矩阵即可.注意到此时构造目标函数为

然后,再依次对求导,并令结果均为0.据此可以得到四个方程组合成的方程组,从而解此方程组确定每个参数.

2.函数极值问题与导数联系

不论是一元函数求极值,还是二元函数乃至多元函数极值问题,都离不开对目标函数求(偏)导运算.从几何视角出发,函数图象取得极值时,切线必然是处于水平方向的.绝大多数情况下,切线平行于轴,意味着切线斜率为0,而切线的斜率可以用导数来刻画.因此,不论是考虑"分析"视角下的极值还是"几何"视角下的局部最高点,我们都可以将问题转化为求“已知函数导数为0”问题.

一般来说,多元函数的极值问题较为复杂.以二元函数为例,我们会接触到两类极值情况:

• 无条件极值;
• 有条件极值.

针对两类不同的极值问题,有的时候需要结合起来使用,比如下面这道练习题:

例题：设,求在区域,内的最大值和最小值.

分析:这道题为啥要考虑非条件极值和条件极值两种情况?这主要是由于所给定的区域是有个带有边界的区域.针对无条件极值问题,我们考虑的变量往往是取遍的,因而在给定一个有界区域下我们是没法直接考虑的.那么怎么办?

• 区域内部的,极值:无条件极值问题;

• 区域的边界极值:条件极值问题.

最后函数在该区域下的最值就是综合上述两种情况下得到的,与之类似的还有区域给定为: ,其中为圆的半径.更有甚者,给定椭圆区域或者更加复杂的区域,但分析问题的思路依然是一致的.

3.泛函的极值——函数极值问题的延伸

在高等数学或者数学分析里,我们探讨的极值问题主要是针对函数来说的,区别仅仅在于函数自变量的个数.而随着数学的不断发展,我们要考虑将函数概念进行必要的推广,即为"泛函".数学系的课程《泛函分析》的研究对象就是"泛函".我们知道函数本质上是数与数之间的对应关系,而泛函就是函数和数之间的对应关系.换句话说,泛函的原像取自于函数集合,而函数的原像则来源于数的集合.

函数	数与数的对应关系
泛函	函数与数的对应关系

自然地,我们能否考虑泛函的极值问题?事实上,数学分支中的"变分学"就是做这样的事情:研究泛函极值(以及更一般的临界值).我们特别研究泛函

的极值问题,与函数极值考虑充分条件和必要条件一样,我们也要寻找泛函存在极值的充分条件和必要条件.在此过程中,我们会得到Euler-Lagrange方程等一系列漂亮的结果.