笔者先前一直在谈数学里的一些理论,尽管在笔者看来这些内容都是较为深刻和优美的,但是于绝大多数人眼中,情况却并非如此.数学家们试图向公众展示数学之美(the beauty of mathematics),常常举的一个例子是欧拉公式(Euler’ Formula):
欧拉公式(Euler’ Formula):
数学家们认为该公式将数学中五个重要的数通过一个等式连接在一起,因此该公式是极其优美的.尤其是,作为一个虚数,和作为一个无理数,它们之间竟然存在着千丝万缕的联系!绝大多数对数学不太感冒的朋友,并不能切身体会到这个公式的优美之处,未免令人感到遗憾(pity).
尽管数学理论或者数学公式并不能令大多数人感到赏心悦目,但是这并不妨碍我们不停地钻研数学.在很多人的印象中,学数学＝做数学题.其实这一看法并不全面,但却又是不易改变的“刻板印象”.
例:计算不定积分
分析:注意到和在计算过程中,使用换元积分法即可得出结果.表面上看(3)与(1)和(2)相类似,但是其解答过程却是更加复杂的,也不易想到.倘若我们直接采用分部积分法或者换元积分法,将很难得到结果,因此这里需要考虑拆项凑微分方法.下面仅针对给出详细思路.
Hint:考虑将拆分为
其中,.针对与,考虑被积函数分子分母同时除以,再运用换元积分法即可求解.
我们从该例子中可以得到哪些启发呢?首先,不定积分求解的方法并非是固定的,有时需要借助特殊技巧才能处理;其次,表面上三个积分长相类似,但是从解答难度上来看明显是更难一点.我们时常犯的一个错误是:看到一个问题与已知问题类似,就误认为二者在难度上是地位平等的.一个经典的例子是数学中的费马大定理:
费马大定理:不存在正整数,使得,其中为大于2的正整数.
很显然,当该结论自然不成立,因为有勾股定理作为依据.我们考虑,则由初等数论中的无穷递降法可证得定理成立,这在17世纪就已经得到证明.对于更加一般的情形,直到1993年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明.此后,数学家怀尔斯举世闻名......
非常有意思的一点是,在解决一个大的数学猜想问题上,往往那个完成最后收尾工作的人容易被世人所铭记的,这种效应与"人们只记住第一高峰"是类似的.
1.已知在处可导,且,求
2.设, 求.
3.设是由方程组
4.求曲线的拐点坐标.
5.(比较定积分大小)试证明.
6.计算定积分.
7.计算定积分
8.(综合题)设
(1)证明数列单调递减,并且说明满足递推关系:.(提示:分部积分法.)
(2)求极限
9.求函数在点处的梯度向量.
10.设函数可导,,求.
11.已知方程可确定函数,求该函数在点处的全微分.
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