有界变差函数是数学中一类较为重要的函数,其出现场合一般是在数学系本科课程实变函数中.由这些函数所构成的一类空间,我们常常称其为有界变差函数空间.那什么是有界变差函数呢?先考虑一个区间,其上的一个映射,并且我们在区间上作个分点,使得有
定义的全变差(total variation )为如果上述是有界的,则我们称有有界变差(bounded variation).根据英文首字母,我们缩写简记为.
笔者第一次接触有界变差函数是在大三学习实变函数时,当时以为以后再也不会用到有界变差函数空间了,然而却没想到研究生的研究方向(双曲守恒律)中却需要用到.一般我们在学习和研究偏微分方程时,会以为索波列夫空间是必须的,实际上在有些方向上空间还没有这么好,比如双曲守恒律中函数所处的空间是BV空间.
引理1:假设有有界变差,则对于每个,左右极限
均是良定义的.此外,至多有可数个间断点.
引理1其实指出了有界变差函数的间断性质.即便是有间断点,但是间断点的个数也是可数的.此外如果,则可以说明均是良定义的.
尽管有界变差函数并不是那么好,但是我们总是可以找到一个分段常函数(piecewise constant function)来逼近它,但这需要额外增加一个条件:右连续.
引理2:右连续并且带有有界变差,则对于任意的,都存在一个分段常函数使得
当然上述所谓的逼近不过是在意义下进行的,如果我们希望它能够做到范数下,那么我们还需要额外增加一些条件.关于和的通俗化区别解释,这里引用法国数学家维拉尼的一段话:
★在数学术语中,范数是一个尺度,用来度量人们感兴趣的量。如果我们想比较两个地方的降雨量，应该比较一年中最大的日降雨量，还是比较全年的总降雨量呢?如果比较最大的日降雨量，这就是极大范数，它有一个悦耳的名字，叫范数。如果比较全年的总降雨量，这对应另一个范数，叫范数
”
更一般地,有界变差函数的有界集具有紧性.其实这样的紧性也在守恒律系统的弱解存在性证明上起到关键作用.至于说紧性,其实可以理解为找到一串序列,其子序列可以收敛到有界变差函数.具体可表述为:
定理3:考虑函数序列使得对于所有的都有
则存在一个函数,子序列使得
其实这个定理也启发我们可以寻找一串有界变差函数列以此构造有界变差函数.往往我们在处理问题的过程中,有界变差函数并不易直接得到,如果能够构造出一串有界变差函数列(并且还要是自身是有界的),通过选取子列取极限即可得到有界变差函数.其实这里的想法与Galerkin逼近想法是类似的,均是子序列取极限得到目标函数.
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