编者按:本文是上海师范大学数理学院大四学生王乐炀同学对高等代数三道习题的初等解法整理（注意长公式要向右滑动），供大家参考学习！
由高等代数多项式部分可知,数域上的对称多项式都可以被唯一的以初等对称多项式为变元的多项式表示(任一群都可以同构于一个变换群).这种表示方法除了可以通过字典排序法待定系数求得,也可以通过初等方法求解,下面给出一些例子,注意到我们并不需要求出具体的根的值.
“[华东师范大学2021年研究生入学考试第5题] 设是多项式的三个复根,求
”
证明：由Vieta定理得到:
于是
“[哈尔滨工业大学2020年研究生入学考试第2题]已知的根为,求
”
证明：注意到,,于是
“.[复旦大学20级每周一题]
(1).请将下列对称有理函数表示为初等对称多项式的有理函数,并求时的函数值:
(2).请将下列对称有理函数表示为初等对称多项式的有理函数,并求时的函数值:”
证明:(1).通分得到
又注意到(*),于是原式化为:
于是当时,的值为1.
(2).通分化简得
利用(1)中的(*)进一步得到
代入题中的数据计算得到:.
[编者语]关于高等代数学习，可以参考一下上海师范大学高等代数教材进行学习：
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