尽管在20世纪中期的美国，已经有了一些关于整体微分几何研究的初步工作，但是仅有这些还远不足以使微分几何学在20世纪的后半叶，迅速发展成为了现代数学的一门主流的分支学科。“几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章的作者Ossermann认为：“使（整体微分）几何学在美国复兴的极有决定性的因素，我想应该是40年代后期陈省身从中国来到美国。”
该文章是这样介绍陈省身先生的：
““陈省身是在中国开始搞研究的。1934年至1936年，他到Hamburg随Blaschke工作，1936年获得博士学位，接着在Paris随Elie Cartan度过一年，然后于1937年返回中国。他在中国待到1948年底，其间只有1943-1945的两年是在Princeton高等研究院，在那两年，他做了他最重要的一些工作，包括前面提到的他对Gauss-Bonnet定理的内蕴证明以及有关示性类的基本论文。”
”
下面我们详细地展开介绍陈省身先生对现代整体微分几何学的发展所作出的巨大贡献。
陈省身先生1911年出身于浙江嘉兴，他15岁入天津南开大学数学系学习，19岁（1930年）大学毕业后到清华大学读研究生，开始学习微分几何。1932年，德国微分几何学家Blaschke来到北京讲学，讲的题目是“微分几何的拓扑问题”，这些演讲激发起陈省身先生对整体微分几何的浓厚兴趣，于是在1934年9月从清华大学研究院毕业后，来到德国的汉堡大学，师从Blaschke学习和研究整体微分几何。
图1：1936年陈省身先生在德国汉堡，图片来自《陈省身文选》（科学出版社）
1936年，陈省身先生博士毕业后，来到巴黎跟随E.嘉当学习，得到微分几何学大师的直接当面的指导。一年后，陈省身先生回国，当时正值抗日战争期间，他先后任教于长沙临时大学和西南联合大学。在艰苦的环境里，陈省身先生“苦读”了E.嘉当的大量著作（E.嘉当的著作被公认为十分晦涩难懂），系统地掌握了E.嘉当关于李群、活动标架、微分形式和黎曼几何理论的独门秘笈。
从1937年到1943年的这段在国内大学任教的6年时间里，陈省身先生在国内外数学杂志上一共发表了18篇论文，研究的课题主要涉及几何结构和它们的内蕴联络、积分几何等内容。陈省身先生在研究中显露出来的才华开始引起一些数学家们的注意，其中就有普林斯顿高等研究院的微分几何学家Veblen教授。
还是在汉堡的时候，陈省身先生通过阅读导师Blaschke的著作，了解到有关高斯-博内定理的内容，对此很感兴趣。在西南联大任教期间，陈省身先生运用了活动标架、微分形式的方法，以及E.嘉当的联络思想，给出了2维闭曲面的高斯-博内定理的内蕴证明。所谓“内蕴证明”，是指不借助于闭曲面所在的外部3维空间来证明，这种内蕴的证明对于探索高维流形的几何性质极为重要，这是因为从中能够显示流形内部各种几何量之间的联系。
在大学微分几何的课本中，闭曲面的高斯-博内定理是这样一个等式：
其中等式的左边的积分是在上对高斯曲率函数的面积分，而在右边出现的整数叫的欧拉示性数，它是用来刻画闭曲面 的整体几何形状的一个拓扑不变量（例如球面的欧拉示性数是2，而像救生圈那样的环面的欧拉示性数则是0）。这个定理很能表现闭曲面 的局部性质和整体性质之间的联系，也就是将的所有局部几何信息高斯曲率集中起来（即进行积分）之后，就正好反映了的整体几何与拓扑的状态，因此它是经典微何学中十分优美的一个定理。
20世纪初期的几何学家们一直想把闭曲面的高斯-博内定理推广到高维的黎曼流形上，即最好将上面等式中的闭曲面换成闭黎曼流形。1925年，瑞士几何与拓扑学家Hopf将高斯-博内定理中的推广到了欧氏空间 内的维超曲面的情形，即对超曲面
证明了高斯-博内定理，他发现此时作为被积函数的曲率要换成 个主曲率（一种特殊的法曲率）的乘积（回忆微分几何课程中的高斯曲率就是两个主曲率之积）。由于这个证明是在包含了超曲面的外部欧氏空间中进行的，所以显然不是内蕴的证明。
另一方面，当时的数学家们也不知道在一般的维黎曼流形上，相当于高斯-博内定理中等式左边的被积函数的曲率式子具体是怎样表示的。令人感到有些意外的是，突破的想法竟然来自似乎并不相干的统计学领域。在“几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章中，作者描述了这样一个历史细节：
““1938年Hermann Weyl在Princeton数学俱乐部听了统计学家Harod Hotelling的一次讲演后，在对几何学历史的一条奇妙的脚注里，提供了经典的Gauss-Bonnet定理和一般的Gauss-Bonnet定理之间的关键的联系。为了分析某些统计问题，Hotelling需要Euclid空间或球面的子流形周围的管状域的体积公式。Weyl对这个问题的论述，除了产生以后关于子流形和积分几何的工作外，还直接导致了Allendoerfer以及陈省身的某些论文。”
”
大数学家外尔从统计学家Hotelling的讲演中得到灵感，把后者的“子流形周围的管状域的体积公式”推广到了 维黎曼流形上，这是很关键的一步。再接下来到了1943年，借助于外尔的这个体积公式，Allendoerfer找到了 维黎曼流形上的曲率表示的公式，然后他和另一位20世纪的大数学家韦依（Weil）一起，将 维黎曼流形分成了许多的小块，将每一块都嵌入到了一个更大的欧氏空间中，这样便能够在每一个小块上证明高维的高斯-博内定理，再拼出整体的流形上的高斯-博内定理（在大学微分几何课程里，证明闭曲面的高斯-博内定理的总思路也是“先在小块上证明，然后拼起来”）。
Allendoerfer和韦依的这个证明的重要意义至少有两个方面，一是确认了一般的维黎曼流形上的高斯-博内定理的正确性，二是确认了 维黎曼流形上的曲率表示公式的正确性。然而，和Hopf对超曲面的高斯-博内定理的证明一样，由于必须要用到更大的欧氏空间，所以Allendoerfer和韦依的这个证明也不是内蕴的。
从1943年到1945年，陈省身先生应Veblen和外尔的邀请赴美，在普林斯顿高等研究院工作两年。陈省身先生后来回忆说，这两年是他“一生中最丰饶多产的时期之一”。他看到Allendoerfer和韦依的证明高斯－博内定理的论文后，立即开始研究高维的高斯-博内定理的内蕴证明问题。陈省身先生根据自己对2维的高斯-博内定理的证明情形，认识到高维的定理证明应该是通过纤维丛的方法来解决，即运用维黎曼流形所具有的纤维丛来进行证明。后来事实的发展表明这是一个正确的做法，陈省身先生运用从E.嘉当那里学习到的活动标架和微分形式方法，一举内蕴地证明了高维黎曼流形的高斯-博内定理：
这个等式左边是在黎曼流形上对微分形式进行积分，其中是表示 上曲率的微分形式，而右边则是的欧拉示性数。
在1944年第4期的《数学年刊（Annals of Mathematics）》杂志上，发表了陈省身先生的一篇举世瞩目的重要论文，然而该论文的题目却显得十分低调：“关于闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明”。
图2：陈省身先生证明高维的高斯-博内定理的重要论文“关于闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明”
为了解释这个高斯-博内定理的内蕴证明的想法，需要一点有关纤维丛的知识。现在的人们一般都是用记号来表示微分流形的纤维丛的，其中的是投影映射。我们可以把纤维丛 想象成位于流形的“上方”的一个微分流形（前面已经说过，流形的向量丛本身可以构成一个新的微分流形，同样，流形的纤维丛 本身也是一个微分流形），它是由上所有点的“纤维”组成的。因此，纤维丛就会有自己的微分形式，并且在和这两个流形的微分形式上同调类之间存在着很独特的内在联系。
陈省身先生的证明过程大致说来是这样的：从Allendoerfer和韦依的 维黎曼流形上的曲率表示式 出发，经过了一些十分复杂的计算过程，陈省身先生发现：如果将 上的微分形式 “提升”到纤维丛 上，成为了的微分形式之后，它竟然能够成为 上另外一个微分形式的外微分（即有 ，此时称为“恰当”的微分形式），然后再将 “拉回”到黎曼流形上，又使其成为了 上的一个微分形式，并且仍然在上成立。这样就可以运用在微分流形上积分的最基本的Stokes定理，把在 上对 的积分问题转化为对微分形式 的积分，并且后者积分以后所得到的数值（通过引用另外一个定理的结论）正好就是 的欧拉示性数 ，从而顺利地证明了高维的高斯-博内定理。
由于陈省身先生的这个证明过程完全没有用到包含了流形 的外部空间，所以是一个内蕴的证明。这个重要定理及其证明的过程充分表明了高维黎曼流形局部的几何不变量 与整体的拓扑不变量之间的紧密联系，成为了现代微分几何学中极其深刻和优美的一个定理。
陈省身先生的这个杰出的证明不是一个寻求内蕴证明问题的结束，而是一个新的研究领域——纤维丛示性类的几何理论的开端。这是因为由陈省身先生所创造的在流形与其纤维丛之间，将微分形式进行提升与拉回的方法，以及类似于这样的恰当微分形式的发现，都是具有普遍意义的。
接下来，陈省身先生将高维的高斯-博内定理证明中的思想用到了一般的复流形上, 用复流形的纤维丛上联络的曲率微分形式确定了的德拉姆上同调群的元素。由于这些含有流形几何信息的元素还有另外一个名称：微分形式上同调类，所以人们就将它们称为“陈（省身）示性类”，简称“陈类”。这个工作统一了其他所有的纤维丛示性类，并由此发展出了一整套的示性类几何理论，这项成就被认为是陈省身先生对于现代微分几何学的最重要的贡献。陈省身先生关于陈类的重要论文发表在1946年第1期的《数学年刊》杂志上，论文标题是“埃尔米特流形的“示性类”。埃尔米特流形是一种类似于黎曼流形的复流形。后来人们逐渐发现，陈类是表达代数几何中高维的黎曼-罗赫定理的基本工具，而纤维丛的语言则是表达流形和代数簇几何性质的最基本语言。可以说如果没有陈省身先生对于纤维丛示性类的理论的贡献，就不会有现代数学中的代数几何、复几何、算术几何、代数拓扑、微分拓扑、模空间、复分析、数学物理等许多分支学科的大发展。
图3：陈省身先生创造陈类的重要论文“埃尔米特流形的示性类”
1945年陈省身先生回国后，在南京创办了中央研究院数学研究所，培养了一批国内知名的数学家（其中就有提出纤维丛的“吴类”理论的吴文俊先生）。从1949年至1960年，陈省身先生在美国的芝加哥大学数学系任教。关于这11年的经历，“几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章的作者是这样评价的：
““1949年，陈在Chicago大学数学系参加工作，在那里，培养出美国历史上头一大批高质量的几何学博士，其中最早的是1953年的野水克己。然而，陈的影响远不只此，通过Singer传到了MIT。Singer当时是Chicago的学生，而不是几何学家。Singer听过陈的讲演，后来在MIT开了自己的课，在那里他获得了几个信徒，其中有Warren Ambrose和Barrett O’Neill，这两人还都没有搞过几何。是陈省身指引André Weil对示性类理论作出贡献的。在50年代，陈省身和Spanier、Kuiper、Hartman、Lashof、Hirzebruch和Serre合写过论文。这些合作促进了我前面提到的使微分几何同周围的数学领域（代数拓扑、代数几何和偏微分方程）逐渐结合起来的演化。”
”
陈省身先生来到以后，立刻使芝加哥大学成为了美国的微分几何研究中心。文章中所提到的一位日本博士生野水克己（K. Nomizu），是陈省身先生在芝加哥大学所带的第一位博士生（以后平均每年带一位博士生），他后来成为了著名的微分几何学家，并且和小林昭七（S. Kobayashi）一起写出了两卷现代微分几何的名著《微分几何基础》（该书下面还要谈到）。在此期间，陈省身先生带的另一位博士生是廖山涛先生，他在1952年毕业，以后长期在北京大学数学系任教，成为了一位著名的拓扑学家。
后来和阿蒂亚一起证明了著名的“阿蒂亚-辛格指标定理”的数学家辛格（Singer），在当时只是芝加哥大学的一名博士生。陈省身先生刚到芝加哥大学的时候，辛格正在写他的关于算子李代数的博士论文，同时他也去旁听了陈省身先生的一门整体微分几何的课程，并且作了详细的笔记，由此产生了对于整体微分几何的研究兴趣。博士毕业后，辛格来到麻省理工学院（即MIT），用听陈省身先生课的笔记，开了自己的整体微分几何的课程。在辛格的课上，有两位十分积极的听众：Ambrose和O’Neill，这两位还都没有做过几何方面的研究，其中的Ambrose已经是麻省理工学院的教授了，还比辛格大10岁。几年后，在辛格和Ambrose的带领下，麻省理工学院的数学系成为了美国的又一个微分几何的研究中心，培养了一批微分几何学家，其中就有后来与陈省身先生一起提出著名的“陈-西蒙斯理论”的J. Simons。
在20世纪的50年代，陈省身先生与许多数学家合作研究或一起写过论文，这些合作极大地推进了微分几何学与代数拓扑学、代数几何学、复分析和偏微分方程等学科的融和发展，这些数学家包括了数论与代数几何学家韦依、代数几何学家Hirzebruch、拓扑学家Spanier和拓扑学家Serre等人。实际上，韦依那时与陈省身先生同在芝加哥大学教书，他们经常在一起讨论纤维丛示性类的理论。在示性类的理论中，韦依证明了涉及到现在被称为“韦依同态”的一个很关键的引理，由此形成了在现代微分几何的教科书上关于示性类的“陈-韦依理论”。
图4：陈省身、韦依和莱夫谢茨，图片来自《陈省身文选》（科学出版社）
从1960年到1979年，陈省身先生在美国的柏克莱加州大学数学系任教。在这20年里，他又使柏克莱加州大学成为了新的几何研究中心。在这里陈省身先生一共培养了31位博士，其中就包括了后来证明了卡拉比猜想的著名数学家丘成桐先生。
陈省身先生还在三次国际数学家大会上作过大会报告，这三次报告的题目分别是：“纤维丛的微分几何（1950年）”、“微分几何与积分几何（1958年）”和“微分几何的过去和未来（1970年）”。这三个报告的中文翻译在科学出版社出版的《陈省身文选》中都能找到。
在陈省身先生创造和传播纤维丛的微分几何理论的同时，数学家Ehresmann发表了他的主丛（一种特殊的纤维丛）上的联络理论，这种理论系统总结和推广了E.嘉当的联络思想和方法，为整体微分几何学奠定了坚实的理论基础。纤维丛的联络理论作为一种广义的“求导”理论，统一了以往的各种联络理论，这套理论彻底改变了以往经典微分几何学中的只注重局部坐标的张量语言，代之以十分新颖的整体的向量场与微分形式的语言（例如其中就有表示黎曼联络的Koszul记号，这种新的语言极大地促进了人们对于现代微分几何学的学习、理解与研究。
陈省身先生在50年代初曾经写过两本关于现代微分几何的油印教材，它们分别是《Differential Manifolds（微分流形）》和《Topics in Differential Geometry（微分几何专题）》，这两本讲义几乎是50年代唯一的关于现代微分几何的教科书，成为了当时很抢手的学习与研究资料，流传到了世界各地。近年来高等教育出版社在国内正式出版了陈省身先生的这两本英文讲义，让我们可以一睹早期的现代微分几何著作之风格。前一本讲义放在了陈省身先生的英文文集《Differential Geometry and Integral Geometry（微分几何与积分几何）》（2016年）的103-216页，内容主要包括了微分流形、微分形式、仿射联络和黎曼流形。后一本讲义放在了陈省身先生的英文文集《Topics in Differential Geometry（微分几何专题）》（2016年）的17-88页，主要讲纤维丛的微分几何理论。
到了60年代，才逐渐出现了第一批讲解现代微分几何的正式教材。“几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章的作者说：
““一种新的记法被Koszul发明了，显然是在50年代由野水克己首次在出版物中加以介绍的。基本运算是向量场关于在一点处的已知切向量的协变导数。这一记法完全不依赖于局部坐标和标架场，而且完全摆脱了指标的纠缠，很快就被一大批几何学家采用。”“正如从前一个人必须学习两种现代语言和一种死语言一样，现在，一位有抱负的几何学家需要学习两种现代记法体系（Cartan和Koszul）和一种死的记法体系（坐标记法），以便有能力阅读20世纪的论文和著作。”
”
这里文章作者所说的“两种现代记法”是指E.嘉当的微分形式语言和Koszul关于切向量场的黎曼联络语言，而他所说的“死的记法体系”是指经典的张量分析语言。
文章的作者Ossermann继续说：
“新出版的微分几何讲义与著作“提出了现代的论述与观点，使用一种新颖的记法，几乎立刻代替了Eisenhart时期的那些老的经典著作，从而为这门学科的蓬勃发展增添了强大的动力。这些著作中有Helgason、小林昭七和野水克己、Bishop和Crittenden，以及Sternberg的硬皮教科书，还有Hicks、Berger、Gromoll-Klingenberg-Meyer同样重要的软皮讲义以及Milnor的Morse理论讲义。”
”
下面按照出版时间的顺序，分别列出文章中所给出的这些教材的书名及其作者，并且对其中的几本作一点简单的介绍。
1962年：Helgason的《Differential Geometry and Symmetric Spaces（微分几何与对称空间）》；
Helgason的这本书后来再版时改名为《Differential Geometry , Lie Groups, and Symmetric Spaces（微分几何、李群与对称空间）》，高等教育出版社在2018年出版了它的新版的影印版。
1963年：Kobayashi（小林昭七）和Nomizu（野水克己）的《Foundations of Differential Geometry（微分几何基础）》；
Kobayashi和Nomizu写的这部著作分为两卷，第一卷的内容讲微分流形、联络理论、线性与仿射联络、黎曼联络、曲率与空间形式、变换理论。第二卷（在1969年出版）的内容有子流形、弧长积分的变分、复流形、齐性空间、对称空间、示性类。这两卷书的内容非常全面，可以说是培育了全世界整整一代的现代微分几何学家。2015年，科学出版社出版了《Foundations of Differential Geometry》第一卷的中文版。
1964年：Bishop和Crittenden的《Geometry of Manifolds（流形几何学）》；
1964年：Sternberg的《Lectures on Differential Geometry（微分几何讲义）》；
1965年：Hicks的《Notes on Differential Geometry（微分几何讲义）》；
Hicks的这本讲解得很清晰的讲义流传比较广，它的内容包括了微分流形、 中的超曲面、张量与微分形式、联络、黎曼流形与子流形、微分形式的运算与积分、高维的高斯-博内定理与刚性、存在性理论、黎曼几何专题。
1965年：Berger的《Lectures on Geodesice in Riemannian Geometry（黎曼几何中测地线讲义）》；
1968年：Gromoll、Klingenberg和Meyer的《Riemannsche Geometrie in Grossen（整体黎曼几何）》；
1970年：Spivak的《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry,I-V（微分几何综合引论，共五卷）》。
这部五卷名著是文章的作者特别介绍的一部很不平凡的现代微分几何巨著，其总篇幅达到了2700页！文章的作者Ossermann对这部巨著有一段具体形象的描述：“热切撰述的十年，在1970年7月6日上午3点半有一个合适的结尾，那时Michael Spivak完成了他的《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry》第二卷的序言。在那部著名的著作中，Spivak从18世纪微分几何的起源出发，带着读者一步一步地通过Gauss和Riemann的基本论文，Bianchi和Ricci的贡献，进入到Levi-Civita、Cartan、Ehresmann、Koszul等人的观点下各种'联络’概念的丛林之中。”这里描述的主要是该书第二卷的内容。
图6：Spivak的《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry》第二卷
图7：Spivak的《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry》第一卷
以上所介绍的现代微分几何的教科书，都是写于半个世纪前的好书，今天读来仍然获益良多，尤其是直达问题中心和历史途径的写法，更是十分珍贵。但是另一方面，由于在半个世纪前，新的微分几何语言刚开始采用，不免有个别常用的记号与定义与现在有不一致的地方，因此可能会带来一些不便。所以初学者在入门阶段学习时，可以选择后来新写的教材，等到对微分流形和黎曼几何初步有一些入门后，再来读这些现代微分几何的经典著作，相信一定会有很好的收获。
笔者自己主要是通过Boothby写的《An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry（微分流形与黎曼几何引论）》，来学习微分流形与黎曼几何初步的。这本书的特点是充分理解初学者的难处，对复杂与抽象的内容讲解极为细致和清晰。该书善于从读者熟悉的空间入手，来引入抽象复杂的概念，例如对很基本的黎曼联络概念的引进就是这样。不少教材一上来就在一般的黎曼流形上直接给出黎曼联络的定义，接下来是证明相关的定理，这样虽然表面上简洁清楚，但是初学者对这个十分抽象的黎曼联络概念的含义是难以理解的。而Boothby的这本书是先讲中沿着曲线向量场的导数，再讲中子流形上向量场的导数，然后才慢慢地从中提炼出一般黎曼流形上的黎曼联络概念和Koszul的记号 ，这样做自然是十分有利于初学者对黎曼联络的理解和掌握。还有该书对E.嘉当的曲率形式与结构方程的引入也极为细致和优美，让初次接触这套理论的人很容易理解和接受。人民邮电出版社在2007年就引进了Boothby的书的第2版修订版，很希望能看到该书的中文翻译版。
图8：Boothby的《An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry》
当然Boothby的书也只是讲到了黎曼曲率张量和协变张量场的导数，接下来如果想要学习更加全面的黎曼几何内容，可以看由科学出版社在2007年引进的《Riemannian Geometry（黎曼几何）》。该书的作者是Peter Petersen，这本教材除了讲清楚一般黎曼几何课程的常规内容外，还讲了许多近年来的新理论，例如有Bochner技巧、对称空间与和乐群、里奇曲率比较、黎曼流形的收敛等内容，该书突出了几何分析的重要观点与方法。
受到陈省身先生的思想和研究工作的巨大影响，并且在其他现代数学主要分支学科的合力作用下，微分几何学在20世纪的后半叶迅速发展成为了现代数学的一门主流的分支学科，研究的主要方向包括曲率与拓扑的关系、子流形、特征值问题、调和映射、复流形、里奇流、度量黎曼几何等。从事微分几何学研究的数学家人数大幅度增加，研究的成果也大量涌现。下面按照时间的顺序，列出了20世纪的后半叶在微分几何学中所取得的一些重要研究成果。
1956年：Nash（即电影《美丽心灵》的主角纳什）证明了黎曼流形在欧氏空间中的嵌入定理；
1958年：Bott与Samelson将莫尔斯理论运用到研究对称空间中；
1960年：Federer和Fleming开创了黎曼流形上的几何测度论研究领域；
1963年：阿蒂亚和辛格证明了著名的阿蒂亚-辛格指标定理；
阿蒂亚-辛格指标定理被认为是20世纪最伟大的数学定理之一，因为它揭示了微分几何学与拓扑学、代数几何学、偏微分方程等学科之间的深刻联系。该定理大致可以写成如下的形式：
(表示陈类的微分形式)= 算子的指标，
其中左边积分号内“表示陈类的微分形式”极其复杂，它显示的是闭流形 上每一点处的局部几何信息，而右边的“算子的指标”则表现了流形整体的分析信息。阿蒂亚-辛格指标定理是一个综合了许多重要定理内容的超级大定理，例如它不仅包含了高维的高斯-博内定理的结论，而且也包含了希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的结论。
图9：数学家阿蒂亚，图片来自《20世纪数学经纬》（华东师范大学出版社）
1964年：Eells和Sampson开创了黎曼流形上调和映射的研究领域；
1964年：Palais和Smale创立了广义莫尔斯理论，从而为无限维流形的研究奠定了基础；
1967年：小林昭七在复流形上引进了不变伪距离，开创了复流形研究的新领域；
1967年：McKeam和辛格开创了黎曼流形上曲率与Laplace算子特征值研究的新领域；
1968年：Mostow的刚性定理开创了“由拓扑来决定几何” 的研究新方向；
1968年：Simons开创了黎曼流形中的极小簇研究的新领域；
1969年：Gromoll和Meyer找到了正曲率完备开流形的拓扑结构；
1976年：丘成桐先生证明了卡拉比猜想；
和陈省身先生证明了高维的高斯-博内定理后引出陈类理论相类似，卡拉比猜想的解决也开创了一个庞大的全新研究领域——卡拉比-丘（成桐）流形的几何学。这种新流形的几何学在代数几何学、理论物理学的超弦理论中具有很重要的应用。几何分析是在最近30年内由微分几何学与偏微分方程等学科交叉发展起来新学科，丘成桐先生是几何分析的奠基者与领导者之一。
图10：数学家丘成桐先生，图片来自《20世纪数学经纬》（华东师范大学出版社）
1978年：Thurston开创了3维流形研究的新领域；
1978年：Gromov开创了度量黎曼几何与辛几何的研究新领域；
1979年：Hamilton开创了里奇流研究的新领域；
1982年：Donaldson运用理论物理学中的规范场理论，开创了4维流形研究的新领域；
2003年：Perelman运用里奇流证明了著名的庞加莱猜想；
庞加莱的猜想是：每个单连通的3维流形都同胚于3维球面。随着这个长达百年的庞加莱猜想终于被证明，20世纪微分几何学的发展成就也达到了一个辉煌的顶峰。
（下面给出“几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章后半部分的照片）
图11：文章（四）
图12：文章（五）
图13：文章（六）
图14：文章（七）
图15：文章（八）
图16：文章（九）
文稿|陈跃
编辑|朱善军
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