高数习题 |数列极限三题举例

题1.设,且,,求.

解:

数列单调递减有下界,故极限存在,设,则由递推公式有,故

题2.设,证明下述数列有极限.

证明:显然,即单调递增,又

根据单调有界原理，可以得到有极限。

题3.证明:

证明:利用夹逼准则.由

且

.

评注:夹逼定理有时候可以跟定积分定义求极限结合起来用，需要格外注意。往往是先用夹逼定理放缩一下，再分别对放缩的两端用定积分定义方法求极限。

关于数列极限的相关知识，读者可以参考任何一本讲解高等数学知识点的教科书，实际上，我国古代有数学家刘徽曾经对割圆术有过一定的研究。关于刘徽的生平，可以查阅相关资料，下方已经提供了一些基本信息。

刘徽(约225 – 295年)

我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :

“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要极限思想 .