排列、组合常见习题以及解题策略

基本知识

基本方法

可重复问题（方幂处理，乘法原理）

例1：现有4名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，且每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是_5^4____.

限制问题（优先法处理：一般采取将特殊元素（位置）优先处理的方法）

例2：六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有__216_____种.

[分析]甲和乙的位置属于特殊位置，所以应该优先考虑。

练习1：（讲义34题/2020年徐汇一模第9题）数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为__840____.

[分析]个位数字和千位数字在下列集合中取值: {9,7},{8,6},{7,5},{6,4},{5,3},{4,2},{3,1},{2,0}. [注意]：{2,0}中的0受限制，不能作为千位数字。

相邻问题（捆绑法：将相邻元素“捆绑”为一个大元素，再与其余元素排列，最后再“松绑”，将相邻元素内部进行排列）

例3：一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为___6^4___.

[分析]

• 先“捆绑”：三个家庭看成三个大元素进行全排列P_3^3.
• 再“松绑”：每个家庭内部再进行排列P_3^3×P_3^3×P_3^3.
• 乘法原理：P_3^3 ×P_3^3×P_3^3×P_3^3.

练习2:有8本不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本，若 将这些书排列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一 起的排法共有_1440_____种.

不相邻问题(插空法:先排其他元素，再将不相邻的元素插入到已排好元素之间和两端的空中。)

例4：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__480___种.

[分析]先排其余4个，有5个空，再把甲乙插入到5个空中。

练习3:用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___576_____种.

[分析]分为两步:相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理。

定序问题(作商处理: 给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列。顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为: (m+n)!/n!.

例5：（讲义10题）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右 边(A、B可以不相邻)，那么不同的站法有___60_______种.

[分析]B必须站在A的右边，因此A,B顺序确定，再加入3个元素排序，因 此有5!/2!.

练习4:（讲义35题）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要 从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人位置不变，则不同调整方法的总 数是__840_____.

[分析]从后排8人选2人，只需注意到位置顺序不变的：前排4人。

分组问题（平均分组、部分平均分组和非平均分组；要分清楚具体到底是哪类分组）

例6: 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有__12_____种.

[分析]平均分组+排序.

例7：将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为___70___种.

[分析]平均分组+不排序.

例8：某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有_240_____种。

[分析]部分平均分组+排序，2，1，1，1。

例9：从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__60___种。

[分析]非平均分组

复杂问题 (排除法: 证明不好解决的排列、组合问题，考虑反面。一般题目中有字眼“至多、至少”等体现)

例10：（讲义40题）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有__34____种。

[分析]考虑反面：都是男生。

练习5：（讲义42题）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至 要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有___70____种。

[分析]出现“至少”字样，考虑反面：都是甲型或者都是乙型。

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思考题:已知有正整数解，求的最大值。

”