本次内容主要为Lebesgue积分意义下的“微分学”,以单调函数类与有界变差函数类作为引入,讨论了其连续性与可微性,并介绍了几种函数的分解.同时进一步在较弱的条件下研究了Newton-Leibniz公式,使用的方法是Lebesgue积分和点集分析的方法,并推广到了一般的测度空间.最后一章简要介绍了一些广义测度与积分的相关内容,即将单调增加的右连续函数看成是Borel集上的集函数(事实上,引入Lebesgue-Stieltjies积分的方法是类似的),并给出了Radon-Nikodym导数的一般形式.这一章在复试的考察中通常较为基础,甚至不怎么涉及,但对后续的课程,如概率论,测度论,随机过程等却有着重要的基础作用,但考虑到篇幅以及复试课通常不止一门,故对很多内容做了一些删减,至此实变函数的主要内容就结束了,后期会适当补充一些习题,以供参考.
前文回顾:
数学专业课复试专题系列——泛函分析(度量空间基本概念,空间上的范数,连续映射与开映射)
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