一个超越方程的中学解法与大学解法

摘要：给出了一个超越方程的初中解法,高中解法和大学解法

关键词：初中数学,高中数学,微积分,超越方程

原题如下:

“

例:已知,求的整数解.

”

我们先给出比较“易于接受”的初中解法.

解法1(初中解法)

我们分三类情况,即若,其中都是整数,这意味着只能

Case1  , 为任意整数,此时,解得满足题意;

Case2   , 为任意偶数(可以是负数),即,其中是整数,此时,解得,此时是偶数,满足题意;

Case3   , ,此时,解得,此时,满足题意;

综上所述, 的取值为或或.

但这样的思路并不“自然”,换而言之,无法说明为什么一定是上述三种情况的一种,我们尝试用高中的对数来进行进一步分析.

解法2(高中解法)

我们对原方程两边同时取对数得到

分类讨论如下:

Case1 当时,即时满足题意;

Case2 当时,即时,解得或满足题意;

综上所述, 的取值为或或.

注记:取对数时要注意原底数部分变为真数需要添加绝对值符号.

从上述解法中,我们可以回过头看出初中解法似乎是严谨的,因为高中解法的分类和初中解法似乎如出一辙,同时高中解法的每一步变形都是等价的.众所周知,高中阶段利用函数单调性研究根的分布是一种重要的方法.同时结合导数这一工具,能否直接讨论根的分布?答案是肯定的.需要注意的是,解法3只是存在性证明,而非求解本身.

解法3(大学解法)

考虑函数,我们作变形如下

求导可知

只需讨论

的正负即可,令,则,对求导可知

故当时, 单调递增;当时, 单调递减;即时, 单调递增;当时, 单调递减,此时是的极大值点.当时, 单调递增;当时, 单调递减;即时, 单调递增;当时, 单调递减,此时是的极大值点.同时时,即时,这是的无穷间断点,注意到

于是由连续函数的零点存在定理可知, 在上有一个零点, 不妨设零点, 则函数的单调递增区间是和,而单调递减区间是,又

于是再利用连续函数的零点存在定理可知, 在上共有三个零点.

注记:解法3只能证明方程根的存在性,却无法求解具体的解.

最后我们可以利用计算机绘制函数的图像:

从中可以看出这与我们的分析是一致的.

参考文献

[1]陈纪修、於崇华、金路, 《数学分析(第二版上册)》,高等教育出版社, 2004年.