“编者按：本周两个班学生已经学习完沪教版第六章三角第一小节6.1基本内容，其内容是四个常用的三角比。在下周即将开始常用三角公式的教学，其公式经典繁多。值得注意的是，在推导两角差的余弦公式时沪教版教材采用的是”旋转后两点距离保持不变“这一基本原理，这里采用了另一种方法-向量法。本文文稿主要来源于笔者本科参与的大学生创新创业项目作品，因此定有诸多不成熟的地方，恳请读者批评指正，有待在未来教学中不断改进优化。本文推送旨在为学生预习之中，权当是作一个教学尝试，效果如何有待考证。
”
【说明】在推导两角差的余弦公式的过程中，其实涉及到大量的数学知识，比如说两个向量的数量积的公式。倘若在没有学过向量的数量积公式，那么该如何展开推导？
（ 提示：在沪教版的教材中，是采用旋转后两点距离保持不变展开推导的，这样处理好处在于避开了向量的内容，而采用学生所所熟知的两点距离公式。）
【说明】
21 提示：相同点是将所求问题都转化为两个角的正余弦值的四则运算问题；不同点需注意符号上的差 异。（答案不唯一）
22 更确切地说，是在大多数场合下不成立，请读者试探究在哪些场合下是成立的？
23 思考：为什么一个任意角的余弦值总是不超过 1？
【说明】另外，对于这两个诱导公式的证明过程也可以从几何的角度去考虑，将一个任意角放置在单位圆内去考虑。应用三角比的基本定义，也可以给与恰当的证明过程。我们在此处给与的证明想法，是为了提醒读者们注意两角和差余弦公式的巧妙应用。不管怎么说，对于三角比这部分内容，我们经常可以从代数和几何这两条道路出发，最后达成统一。
【说明】对于第五组和第六组诱导公式的证明，都是很平凡的，因此读者可以尝试自行证明。值得说明的是，在两组诱导公式里我们可以看到正余弦三角比之间存在某种互化关系，这对我们处理问题是极其有帮助的。此外，我们在整个推导证明过程中曾多次运用“代换”的技巧，需要读者仔细体会其中的数学思想。
在三角比的板块中，我们常用的代换方式无外乎以下几种类型：
额外的我们也会涉及到诸如使用作为代换项的。通常情况下，使用恰当的代换将会给我们解决问题带来极大的便利，相信这一点会在你的学习中有所体现。
我们在本节的开头就曾提出一个问题，相信读者在阅读至此仍然还有些许印象，在这里我们将不厌其烦地重述这一点。
“问题：如何计算的值？
”
尽管我们已经花了大量功夫去研究任意角和与差的余弦值，但是我们仍然不能直接得到任意角和与差的正弦值，这不禁让人感到遗憾。然而，我们总是可以在正余弦之间做自由地互相转化，而不用去考虑其不可行性 。基于这样的考虑，我们便可以进行如下的尝试：
事实上，对于两角和与差的正切公式而言，其推导可能就不大容易从单位圆内看出，因此我们需要考虑其他途径来导出两角和与差的正切公式了。对于正切而言，其跟其余三角比之间的关系莫过于有
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