高中数学难题解题思路分析(3)

(金山21一模11) 关于的方程

在上有实根,则的最小值为.

分析 主要在于讨论二次函数

在上的形态.这属于“区间定轴动”,正常应该考虑对称轴在的左中右三种情况,但事实上发现,中部和右端的情况是可以合并讨论的.

解 考虑二次函数,则有

Case1 对称轴,这时候在上单调递增,要求有零点则,于是得到

而即区域内的点到的距离,即到直线的距离,此时最小值为.

Case2 对称轴,此时,这时候注意到

综上, 的最小值为.

(金山21一模12) 若

且,则满足条件的所有整数的和是.

分析 注意是一个偶函数,并且在上为常值,于是意味着或.其中“奇尖偶平”原则指的是若.其中.若是偶数,则的最小值在最中间段取到最小值.若是奇数,则在处取到最小值.

解 Case1 由解得或.

Case2 由“奇尖偶平”原则可知在内的值为常值.于是且,解得,此时满足条件的或.

Case3 注意到是一个上的偶函数,于是,此时.

综上,所有的可能性直和为.

(虹口21一模12) 已知数列满足,且(其中为数列前项和), 是定义在上的奇函数,且满足,则.

分析 首先求出数列的通项公式,再利用条件推出的周期(或对称轴),最后将两者结合.

解 计算可知

即,即

又,于是.再由结合是奇函数,得到

于是的周期是,此时利用

得到