高中数学难题解题思路分析(8)

(上海22秋考20) 已知的左右焦点为, 为的下顶点, 为直线上一点.

(1)若, 的中点在轴上,求的坐标;

(2)直线交轴于点,直线经过点,若有一个内角的余弦值为,求.

(3)若上存在点到直线的距离为,且满足,当变化时,求的最小值.}

解 (1)由题意可知,故,即.设,则的中点坐标为

此时满足,即.此时.

(2)计算可知,又,由于.故我们分两类情况讨论如下:

(i)若,则对于而言,有

此时有;

(ii)若,则有

类似(i)的讨论可知,此时.

综上, 的值为或.

(3)由题意可知,此时.设,则由点到直线距离公式和辅助角公式可知

此时,求解可知,故的最小值在时取到,最小值为.

(浦东19一模12) 已知函数,若对任意正整数,在区间上存在个实数,使得成立,则的最大值为.

分析 由于是对任意正整数都成立,所以要保证在最小的区间上成立,即需要取最小.同时需要尽可能大同时

尽可能小来保证尽可能地大.

解 注意到.而的最小值为.此时在上的最大值为,最小值为,而,即的最大值为.