等比数列与等差数列的一些性质及其证明

摘要 本文主要介绍了等差数列与等比数列的一些性质并给出证明.

(1)若等差数列的前项和为,则公差为.进一步,若,则从第项起为等差数列.

证明 当时,有,当时,有

于是是以为首项,以为公差的等差数列.

以下均假设是等差数列,且为前项和.

(2)若正整数满足,则.

证明 注意到

(3)若,则.

证明 注意到

即,即,而,故,于是

(4)若,则.

证明 注意到

故

而,于是

于是

(5)若,则.

证明 注意到

于是

而,故

于是

(6) .

证明 注意到

(7) 成等差数列,公差为.

证明 对任意的正整数,有

进而.

(8)若等比数列的前项和为,则公比为.

以下均假设是等比数列,且为前项和.

(9)若正整数满足,则.

证明 注意到

(10)若是由正整数构成的等差数列,则也构成等比数列.

证明 不妨设,则

(11) 成等比数列,公比为.

证明 对任意的正整数,当时,有

进而.当时,该数列每一项均为,也为等比数列.

(12)若是等差数列,则数列成等比数列(每一项均有意义).若是等比数列,则数列成等差数列.

证明 注意到