华东师范大学2021年研究生入学考试高等代数试题解答

ECNU202101 设为数域, , .记,则线性方程组有多少个线性无关的解,并说明理由.

解 Case1 当时,则若,则此时线性方程组有个线性无关的解.若,则此时非齐次线性方程组有个解.事实上,设的基础解系为,此外是的一个特解,此时是的个线性无关的解.下证的任意一个解都可以由线性表示.设,得到,进一步由于得到,于是它们线性无关;进一步令是的解,于是,于是可表示为的线性组合,故

Case2 当时,线性方程组无解.

ECNU202102 设阶方阵

给出复线性空间

的一组基,并计算其维数.

解 设

计算可得

可得到,于是取的一组基为

维数为.

ECNU202103 设阶矩阵中元素是关于实变量的可微函数.记

证明:若对任意的,有,则

解 设

是的列分块,有

ECNU202104 设阶复矩阵满足,且有个不同的特征值,证明: 可对角化.

证明 由第四版复旦高代白皮书例6.62可得.

ECNU202105 设是多项式的三个复根,求

解法1(Vieta定理) 由Vieta定理得到:

于是

解法2(字典排序法) 展开后得到

即组合可以是

即设

对应系数可知

即.故

ECNU202106 在上令

记

证明:函数在坐标变换

下保持不变,其中是二阶正交矩阵.

证明 不妨设

于是有

代入得到

注意到是正交矩阵, 也是正交矩阵,于是

保持不变,又

又

由于

故保持不变.

ECNU202107 设矩阵

证明:一定存在的特征向量,其中.

证明 设是属于特征向量的特征值,故,得到

故一定有不同实根,且一定有一个正实根..由于,取,令,注意到

消去,记,有.故存在,使得,此时有属于的正特征向量.

ECNU202108 设阶复矩阵与是幂零矩阵,且有相同的秩和极小多项式,证明: 与相似.

证明 由题意可知和的最大阶数Jordan块相同,不妨设阶数为,分类讨论如下.

Case1 当或时, 和分别相似于和.

Case2 当时, 和都相似于或或.

Case3 当时, 和都相似于或或.

Case3 当时, 和都相似于或.

综上, 与相似.

ECNU202109 设是阶实矩阵, 是阶正定实对称矩阵.

(1)证明存在唯一阶实矩阵满足

(2)证明对(1)中的矩阵,有当且仅当.

证明 (1)注意到与没有公共特征值,由第四版复旦高代白皮书例6.91可得.

(2)我们只需说明充分性.构造映射

由第四版复旦高代白皮书例6.91可知这是一个线性同构,故

即,于是.