南开大学2021年研究生入学考试高等代数试题解答

NKU202101 计算行列式

的值.

解 设

则由分块矩阵的降阶公式得到

NKU202102 设为阶方阵,且,求.

解 注意到,记,其中

故,又有的子式

故,即.

NKU202103 设为阶实对称方阵, 的特征值为,且

是属于特征值的特征向量.

(1)求属于特征值的特征向量.

(2)求方阵.

解 (1)设属于特征值的特征向量为,由实对称阵的性质知,取满足题意.

(2)设存在正交阵,使得,于是

又,故

NKU202104 设皆为阶非异阵,若满足,证明: .

证明 注意到

即,对上式分别左乘,左乘,得到

即,又皆非异,故两边同时取行列式有,故.

NKU202105 在中,设线性方程组

和

的解空间分别为和.

(1)证明是的三维子空间.

(2)求线性函数,使得.

证明 (1)计算可知

记,则,故,即是的三维子空间.

(2)由(1)知的一组基可以是,于是即求解线性方程组

有解,于是满足题意.

NKU202106 给定上的阶方阵和阶方阵,在维复空间上定义线性变换如下若没有公共特征值,则是非异变换.

证明 由第四版复旦高代白皮书例6.91可得.

NKU202107 在维实线性空间上定义二次型,求的正负惯性指数.

证明 由第四版复旦高代白皮书例8.36可得.

NKU202108 设是维线性空间上的线性变换, , ,证明: .

证明 由第四版复旦高代白皮书例4.35可得.

NKU202109 若阶方阵满足且,证明: .

证明 事实上我们有

于是