FDU202201 设二次型
在正交变换下化为标准型,其中, ,求的值并求出满足条件的.解 由题意可知该二次型相伴的实对称阵为
且解得或.注意到当时, ,即不是的特征值,舍去.故.即
进一步分别取特征值的特征向量为,单位化得到满足题意的正交变换FDU202202 设是数域上的阶方阵, 是数域上的维列向量,若线性方程组和线性方程组的非空解集相同,证明:存在可逆的阶方阵,使得且.
证明 由题意可知,且
又与的解集相同,于是
设其中是的极大无关组, 是的极大无关组;故和也是的两组极大无关组,设于是阶方阵是非异阵,于是有则存在可逆矩阵,使得,故这表明.FDU202203 设方阵
且所对应的线性变换有一个不变子空间,其中
求参数,并在此时求可逆矩阵,使得为的Jordan标准型.解 注意到,其中, ,则.进一步计算可知
由于要求,即存在,使得,即上述关于的方程组有解则,作初等行变换有计算可知.将代入,得到
计算可知
由于的特征值互不相同,故可对角化,此时分别取特征值对应的特征向量求得此时.
FDU202204 设是阶实对称阵,若满足下列条件之一
(i) 的主子式均非负;
(ii)当的某个主子式的值为零时,这个主子式所在的行构成的向量组线性相关;则是半正定实对称阵.
证明 (i)计算可知
其中是的所有阶主子式之和.由假设可知,故对任意的正实数,总有.设是的个顺序主子阵,则的主子式也是的主子式,从而的所有主子式全大于等于零,故对任意的正实数,总有,而是的个顺序主子式,故由上面的讨论可知对任意正实数,有都是正定阵,即是半正定阵.(ii)设
且,即
与同解,设,其中是实列向量,则
此时是半正定阵.FDU202205 以记所有迹为零的阶复方阵组成的复线性空间,设是的线性子空间,且同时满足:
(i) 中的矩阵均可对角化;
(ii) 中的任意两个矩阵乘法可交换;
(1)在子空间的包含关系下,设是满足性质(i)与性质(ii)的极大子空间,求;
(2)若和都是在包含关系下满足性质(i)与性质(ii)的极大线性子空间,证明:存在阶可逆复方阵,使得.
证明 (1)由数学归纳法可知中的矩阵均可同时对角化,故存在可逆矩阵,使得
其中,且是的特征值,由题意可知,求解得到则.(2)由题意可知存在可逆矩阵,使得
其中,取,有,故存在阶可逆复方阵,使得.FDU202206 设和分别为维和维复线性空间, 和分别是和上的线性变换,设是到上的线性变换,满足,若是的特征多项式, 是的特征多项式, ,证明:
证明 取和的一组基,使和在这两组基下的表示矩阵为, 在的这组基下的表示矩阵为,则,不妨设
则,下证明,即有至少个共同的特征值,不妨设的相抵标准型和对应的分块为其中是阶可逆矩阵, 是阶可逆矩阵,则有由于在相似的条件下不影响题目结论,故不妨取,计算得,即有至少个共同的特征值.FDU202207 设是阶非异实矩阵,证明:存在阶非异实矩阵,使得则至少满足下列条件中的一个:
(i) ;
(ii) 是幂零矩阵.
证明 由题意可知,即相似于,不妨设的特征值为.分类讨论如下:
Case1 若,则.若可对角化,则相似于,此时的特征值为零,即(ii)成立(当然此时(i)也成立).
Case2 若不可对角化,则相似于,此时相似于
注意到,即(ii)成立.Case3 若,此时,且特征值不为,不妨取
此时可对角化,并且相似于,此时,即(i)成立.联系客服
