SJTU202201 证明:多项式与互素的充要条件是存在多项式,使得
证明 作带余除法如下:
注意到余式的次数严格递减,故经过有限步后必有一个等式的余式为零.不妨设,即.下证明为和的最大公因式,注意到是和的公因式,又设是与的公因式,则,以此类推可知,即为和的最大公因式.计算可知用类似的方法逐步将用代入,从而得到SJTU202202 设矩阵
(1)是否存在使得?若存在请求出,若不存在请说明理由.
(2)设,求,其中分别为二维标准单位向量;
(3)是否存在,使得?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
证明 (1)由于,而,这是不可能的.
(2)计算可知
故,于是
(3)由(2)可知
即SJTU202203 设集合,记.
(1)当
以及
时, 分别代表的形状是什么?
(2)对于任意二阶实矩阵,讨论所代表的几何图形.
证明 (1)不妨设,当
时,
由Cauchy不等式可知即,即从到的线段.类似可知当时,
作正交变换,则这是一个以原点为圆心,半径为的闭圆.(2)若,则.若,不妨设,其中为二维列向量,则
即以为方向的,以和为端点的线段.进一步考虑若,则设且,则有作正交变换,有化简可知这是一个椭圆(其长半轴和短半轴的计算较为复杂,此处略去).
SJTU202204 设为阶矩阵,证明:
(1)若,则;
(2) .
证明 (2)由秩的不等式可知
在之间有个整数,由抽屉原理可知,存在某个正整数,使得取即可. (1)由(2)可推出.SJTU202205 设
(1)求的Jordan标准型;
(2)令,求的谱分解;
(3)令
求的奇异值分解.
解 (1)计算可知,即的特征值为和(重).计算可知属于的几何重数为.故的Jordan标准型为
(2)计算可知
于是的特征值为,分别求其特征向量并单位化得到
即即的谱分解为
(3)设,其中是正交阵, ,计算可知
计算可知.故
取的特征向量并单位化得到
又
由分块矩阵降阶公式计算可知
故特征值为.分别计算其各自互相正交的特征向量并单位化得到SJTU202206 设分别是维欧氏空间的子空间,证明或举反例否定:
(1) ;
(2) .
证明 (1)正确,由于,因此
反之,若.记,其中,则故.(2)正确,我们先证明,这是因为,因此
而,即.回到(2),由引理和(1)可知即.SJTU202207 设为阶实对称阵,则至少有个正特征值的充要条件是存在维子空间,使得对于任意非零向量,有.
证明 取的一组基
设是实对称阵的所有实特征值.不妨设由主轴定理可知,存在正交矩阵及线性变换将二次型化为假定至少有个正特征值,则对每个,令,易验证是一个维子空间,且对任意非零向量,有.反之,若存在维子空间,使得对任意非零向量,有.若的正特征值的个数小于,则.考虑子空间由维数公式可知.取一非零向量,设,则,与题意矛盾,故的至少有个正特征值.SJTU202208 设为数域上的线性空间, 是到的映射,证明:对于,存在,使得的充要条件是.
证明 先证明充分性,若存在,使得,则对任意的,其中,都有
即,即.反之,定义取意味着,即,即与代表元的选取无关,故.
从交换图的意义可以看出, 是从到的提升,而到的拉回必定包含在内.
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