中国科学技术大学2021年研究生入学考试数学分析试题解答

USTC202101 求函数极限

解

USTC202102 求积分

解 注意到

于是利用积化和差公式得到

设

则有

USTC202103 若

其中具有二阶连续偏导数,求

解 计算可知

USTC202104 设,求.

解 计算可知

USTC202105 已知由

确定,求的弧长.

解 计算可知

USTC202106 计算曲面积分

其中是由所围成的立体外侧.

解 分别投影并计算得到

USTC202107 证明函数项级数

在上一致收敛,在上也一致收敛.

证明 当,时,注意到

由Weierstrass判别法知此时函数项级数在上一致收敛,进一步由于

且关于单调递减且关于一致有界,下证明在上一致收敛,由于

故其关于一致收敛于0,且由积化和差得到

得到

由Dirichlet判别法命题得证.

USTC202108 试求的Fourier级数展开式,其中不是整数,并由此证明:

(1) .

(2) .

证明 注意到,进一步计算得到

故

由收敛定理,令得到

进一步由Parseval等式知

得到

令,得到,化简得.

USTC202109 若在上连续,证明:存在,使得.

证明 设,则

又,由Rolle定理知,存在,使得

USTC202110 求实系数二次多项式,使得对任意的,成立

证明 设,注意到

取于是有

USTC202111 若在上连续,且满足

证明: .

证明 考虑

由Cauchy-Schwarz不等式知

代入中得到

USTC202112 若在上有界连续,且

证明:在上一致连续.

证明 若不然,则存在,使得对任意的,都有,而,不妨取,有趋于无穷的数列与趋于0的数列,使得,不妨考虑对任意成立,由于有界,于是也有界,此时有由题意得

重复上述步骤(或数学归纳法),得到

此时有,这与在上有界矛盾,命题得证.