ECNU201801 当实数为何值时,方程组
有唯一解?无解?无穷多解?有解时,请写出全部解.
解 对该线性方程组所对应的增广矩阵进行初等行变换:
当时,方程组无解;当时,若,则方程组无解,若,则有
此时,则方程组的解为,其中
由于,所以不存在唯一解情况.ECNU201802 已知阶复方阵的特征多项式与极小多项式分别为
求的Jordan标准型.解 由特征多项式知的特征值为(重), (重).由于是的最后一个不变因子,进一步因为,所以,故,得到的初等因子为,于是的Jordan标准型为.
ECNU201803 已知实二次型满足的充分必要条件是,证明: 为正定型或负定型.
证明 由第四版复旦高代白皮书例8.24可得.
ECNU201804 设
求一个正交矩阵,使得为对角阵,并写出该对角阵.
解 这里只给出计算结果
满足.
ECNU201805 (1)利用初等变换将下列矩阵化为简化的行阶梯型矩阵:
(2)设是数域上的有限维线性空间,给定一组基,对于中的一个非零向量,若是使得不为的最小整数,称是它的,即,对于的一个子空间,定义:
设是维行向量组成的空间,令为(1)中矩阵的行向量张成的子空间,求和.
(3)设是数域上的有限维线性空间,给定一组基,设是的子空间,证明: .
证明 (1)计算可知
(2)考虑的子空间的一般元素为
若,则;
若,则,故;
若,则.综上,
(3)不妨设中的向量为,其中不全为,类似(2)中的讨论可得,由题意得
任取,则于是,故.ECNU201806 设与是从有限维线性空间到的两个线性映射.若,证明:存在上的可逆线性变换,使得.
证明 由第四版复旦高代白皮书例4.27可得.
ECNU201807 设是一个数域, 为自然数, 是秩为的阶矩阵,定义:
(1)证明是一个线性映射.
(2)设,
分别求和的一组基.
(3)对于任意的,求的秩.
(4)对于任意的,求的维数.
证明 (2)任取
则其中
是的一组基.再利用
可求出其中是的一组基.
(3)注意到在基础矩阵为基下的表示矩阵为,故
(4)计算可知
ECNU201808 设是所有阶下三角幂幺方阵的集合, 是所有阶上三角幂幺方阵的集合,幂幺方阵是指对角线上全为的上三角阵或下三角阵.定义如下关系:
(1)证明: 是上的等价关系.
(2)设,求证:两个满足该等价关系的矩阵的所有顺序主子式的值都相同.
证明 (1)利用上(下)三角幂幺方阵的逆阵仍然是上(下)三角幂幺方阵可验证自反,传递和对称性.
(2)设,沿用题目中的记号,设分别为对应矩阵的阶顺序主子阵,其中.不妨设
则于是故具有相同的顺序主子式的值.ECNU201809 设是数域上的个两两不同的数, 是上的线性空间, 是上的线性变换,且在基下的表示矩阵为对角矩阵
(1)设是的不变子空间,且
其中,证明:若某个不为,则.(2)求不变子空间的个数.
证明 (1)注意到
于是分别是特征值的特征向量.不妨设为中不为的数,由于是不变子空间,于是 由于特征值互不相同,故关于的线性方程组的系数行列式为 故线性方程组有解,即可由线性表示,即,如若某个,则.(2)由第四版复旦高代白皮书4.52可得.
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