复旦大学2013年研究生入学考试数学分析试题解答

FDU201301 求极限.

解

当时,即时,原式等于;

当时,即时,原式等于;

当时,即时,原式等于.

FDU201302 设二元函数在上二次连续可微,已知,其中,求.

解 由于函数二次连续可微,故偏导数交换次序后值相同,分别计算得到

其中,

FDU201303 设, ,求证:级数收敛.

证明 由题意知,根据求导的Leibniz法则计算可知

即

即, ,于是

又,于是

由此得出级数与级数收敛,从而收敛,进而

故由比较判别法可知级数收敛.

FDU201304 设光滑函数在平面上的投影为有界区域,证明:此曲线所围的面积为

其中为点的极坐标.(假定曲面与平行于轴的直线的交点只有1个)

证明 取曲面上一小曲面片的面积,近似地视作为由两个方向向量张成的面积

于是得到

其中,代入题目条件,有

于是得到

FDU201305 设, ,试求的最大值与最小值.

解 原命题等价于求的最大最小值,分别对求偏导数,有

将看作三角形的三个角,利用正弦定理,得到三个角所对的边长比为: ,由余弦定理得到

即,再考虑边界上,最大值为,最小值为,综上,最大值为,最小值为.

FDU201306 设是在区间上的所有实可微函数集合,且, ,求出最大实数,对于中的所有都满足

解 注意到,于是设,故

FDU201307 设,求证: 在中一致收敛的充要条件是收敛.

证明 必要性由Weierstrass判别法可证;充分性由Abel判别法可证.

FDU201308 已知

为定义在上的实值函数,证明:若,则不存在.

证明 若存在这样的,则有

记,交换积分次序并令可知

令,则

即,由根的判别式可知当时,不存在实数,这与是定义在上的实值函数矛盾,故若,则不存在.