使用整数规划进行多条件数据分配

之前遇到了这样一个问题：

总结就是，将一批名单分成两组使得产品个数和销售额尽可能相等。

单纯的平分销售额或者平分产品个数会非常简单，但是要求两个维度同时进行就比较复杂，观察可以看到销售额的数字远远高于产品个数，我们可以先控制要求产品个数相等的情况下，找出销售额相差最小的方案，如果销售额相差较大，可以降低产品个数相差要求再看。慢慢提高相差范围，最终凭感性找出一个比较平衡的值。

首先读取数据(复制下面的表格后再执行下面的代码即可得到相同的数据)：

import pandas as pd
import numpy as np

df = pd.read_clipboard()
df

	产品经理	产品个数	销量	销售额
0	黄腾飞	38	140337	5680156.5
1	陈心悦	64	94298	4905685.2
2	赵音诺	54	72334	3717523.2
3	张馨文	26	64069	3101085.6
4	夏佳倩	23	49699	2669572.1
5	熊雪君	17	39031	2555844.4
6	徐安娜	18	49117	2269450.4
7	刘航	33	43066	2084240.0
8	张羚钰	2	38244	1227615.6
9	银素蝶	14	18486	1193600.5
10	严诚	6	8271	937001.5
11	唐敏	13	13372	590821.6
12	刘婷	9	7072	536381.8
13	宗兴武	7	5416	376375.0
14	张诗蕊	2	8515	336892.5
15	赵嘉成	1	2344	299836.0
16	王霞	4	4104	209033.0
17	毕隆滔	8	3549	208318.8
18	王彬彬	5	3599	207989.9
19	但伊静	4	3476	153416.8
20	张丹	6	2614	131388.8
21	马一丹	6	1450	128639.6
22	郭哲达	7	2590	124674.6
23	黄怡	4	2293	75829.7
24	何虹	2	751	71925.1
25	仲倩影	3	949	36375.1
26	秦文君	1	420	20958.0
27	关贞卓	1	478	20218.2
28	黄蕊	1	86	19994.0
29	许国露	1	357	17374.3

pulp求解

下面我们使用pulp进行整数规划进行求解，首先尝试设置约束要求划分的两个数据集产品个数相等，其次要求两个数据集销售额的差值尽可能的小。

可惜pulp默认的cbc求解器并不支持绝对值约束，我的方案是先限制a大于b之后，再求a-b的最小值。

from pulp import *
import numpy as np

prob = LpProblem('目标函数和约束', sense=LpMinimize)
# 第一份数据集被选中的位置
x = np.array([LpVariable(f"x{i}", cat=LpBinary) for i in range(df.shape[0])])
# 剩余被选中的位置
y = 1-x

# 首先尝试产品个数相等
prob += (x*df.产品个数).sum() == (y*df.产品个数).sum()
prob += (x*df.销售额).sum() >= (y*df.销售额).sum()
# 目标
prob += (x*df.销售额).sum() - (y*df.销售额).sum()
status = prob.solve()
print("求解状态:", LpStatus[prob.status])
r1 = df[[bool(value(i)) for i in x]]
r2 = df[[bool(value(i)) for i in y]]
print(r1.sum(numeric_only=True))
print(r2.sum(numeric_only=True))
print(r1.sum(numeric_only=True)-r2.sum(numeric_only=True))
display(r1)
display(r2)

executed in 10.3s, finished

产品个数         190.0
销量        326201.0
销售额     16954109.8
dtype: float64
产品个数         190.0
销量        354186.0
销售额     16954108.0
dtype: float64
产品个数        0.0
销量     -27985.0
销售额         1.8
dtype: float64

可以看到，销售额差值仅1.8，可以说差距已经非常小了，很可能已经就是最佳答案。我们再求解一下产品个数差距在2范围内时，销售额最低差值是多少：

from pulp import *
import numpy as np

prob = LpProblem('目标函数和约束', sense=LpMinimize)
# 第一份数据集被选中的位置
x = np.array([LpVariable(f"x{i}", cat=LpBinary) for i in range(df.shape[0])])
# 剩余被选中的位置
y = 1-x

# 产品个数差距小于3
prob += (x*df.产品个数).sum()-3 <= (y*df.产品个数).sum()
prob += (x*df.产品个数).sum()+3 >= (y*df.产品个数).sum()
# 两者的销售额的差值的绝对值最小
prob += (x*df.销售额).sum() >= (y*df.销售额).sum()
prob += (x*df.销售额).sum() - (y*df.销售额).sum()
status = prob.solve()
print("求解状态:", LpStatus[prob.status])
r1 = df[[bool(value(i)) for i in x]]
r2 = df[[bool(value(i)) for i in y]]
print(r1.sum(numeric_only=True))
print(r2.sum(numeric_only=True))
print(r1.sum(numeric_only=True)-r2.sum(numeric_only=True))
display(r1)
display(r2)

executed in 1.21s, finished

求解状态: Optimal
产品个数         189.0
销量        354048.0
销售额     16954110.2
dtype: float64
产品个数         191.0
销量        326339.0
销售额     16954107.6
dtype: float64
产品个数       -2.0
销量      27709.0
销售额         2.6
dtype: float64

相反计算出来的结果比之前的差距更大了，说明产品个数相同时就可以找到最佳答案。

MIP 求解器

ortools的SCIP求解器可以使用相同的思路求解这个问题：

from ortools.linear_solver import pywraplp

# 创建一个mip求解器
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')
x = np.array([solver.BoolVar(f'x_{i}') for i in range(df.shape[0])])
y = 1-x
solver.Add((x*df.产品个数).sum() == (y*df.产品个数).sum())
solver.Add((y*df.销售额).sum() >= (x*df.销售额).sum())
solver.Minimize((y*df.销售额).sum() - (x*df.销售额).sum())
# 求解结果
status = solver.Solve()
status = {solver.OPTIMAL: "最优解", solver.FEASIBLE: "可行解"}.get(status)
print(status)
r1 = df[[bool(i.solution_value()) for i in x]]
r2 = df[[bool(i.solution_value()) for i in y]]
print(r1.sum(numeric_only=True))
print(r2.sum(numeric_only=True))
print(r1.sum(numeric_only=True)-r2.sum(numeric_only=True))
display(r1)
display(r2)

executed in 6.16s, finished

最优解
产品个数         190.0
销量        354186.0
销售额     16954108.0
dtype: float64
产品个数         190.0
销量        326201.0
销售额     16954109.8
dtype: float64
产品个数        0.0
销量      27985.0
销售额        -1.8
dtype: float64

cp_model求解

ortools的cp_model可以使用相同的思路求解这个问题，但是仅支持整数：

from ortools.sat.python import cp_model

model = cp_model.CpModel()
x = np.array([model.NewBoolVar(f'x_{i}') for i in range(df.shape[0])])
y = 1-x
model.Add((x*df.产品个数).sum() == (y*df.产品个数).sum())
v = (df.销售额*10).astype("int")
model.Add((x*v).sum() >= (y*v).sum())
model.Minimize((x*v).sum() - (y*v).sum())
# 求解结果
solver = cp_model.CpSolver()
status = solver.Solve(model)
status = {cp_model.OPTIMAL: "最优解", cp_model.FEASIBLE: "可行解"}.get(status)
print(status)
r1 = df[[bool(solver.Value(i)) for i in x]]
r2 = df[[bool(solver.Value(i)) for i in y]]
print(r1.sum(numeric_only=True))
print(r2.sum(numeric_only=True))
print(r1.sum(numeric_only=True)-r2.sum(numeric_only=True))
display(r1)
display(r2)

executed in 1.66s, finished

最优解
产品个数         190.0
销量        326201.0
销售额     16954109.8
dtype: float64
产品个数         190.0
销量        354186.0
销售额     16954108.0
dtype: float64
产品个数        0.0
销量     -27985.0
销售额         1.8
dtype: float64

这个求解器的优点是速度极快，2秒之内已经计算出结果。

回顾

最终划分结果为：

ortools的cp_model求解器虽然只支持整数操作，但速度最快。

参考：

• OR-Tools官档中文用法大全
• 使用Python进行线性规划求解