每日一题 2020.9.21

从今天起开始每日一题，内容为大一，大二上所有数学必修课，今天分享的是中科大数分上教材的1.5：单调有界定理中的练习题1.5.6

题目：

设是一非负数列，满足：

证明是收敛的

想法：我乍一看这不是柯西收敛准则吗？很简单啊，对任意的,当时不就有 吗？

这不就出来了吗？这也是我问了不少同学他们看到这道题的第一印象，仔细观察发现这与柯西收敛准则时不完全相符，因为柯西收敛准则是带有绝对值的，所以不能保证,而事实上也完全有可能绝对值是大于的，此路不通。

结合本节所学，我们试试用单调有界定理，那必须有单调和有界两个条件，先证有界性：

所以保证了有界性，接下来看看怎么构造单调数列：

方法一：

所以这个数列是单调递减的，故单调递减有界，所以数列收敛：

方法二：利用同样的方法可以知道：

所以数列是单调有界收敛的，  所以：

同理可得：是收敛的

方法三：构造正部和负部

定义正部为：为正时的值，负部为为负时的值， 所以有单调递增，单调递减，不难证明他也是有界的（留给读者思考），而：就可以由正部和负部构成，所以由正部，负部收敛可以得到是收敛的

总结：这道题主要时用到了单调有界，其中有界性的利用贯穿始终，而单调数列的构造需要技巧，这个需要积累，其中第三种方法值得深究，因为我们在后边达布准则，黎曼定理的以及黎曼重拍定理时都用到了这一方法，而第三种方法知识提供思路，具体步骤大家自己补充。

留一道习题：中科大教材上：1.7.6：设,证明：如果是发散的，那么必然可以找到两个子列收敛到不同的数。

（我想了很久，还是没出来，同学们看看，没人回我，我明天问同学和老师）

有问题请指出