20级数分习题课讲义 第一次

讲在前面：首先我是补休的，之前也没有学过数分一和高代（只学过微积分和线性代数也忘得差不多了），所以不会比学弟学妹强太多，可能就是多了些数分二的经验而已，第二：我不会把pdf发给大家，因为数分是需要独立思考的，所以不建议看答案，我也只会是在习题课讲完后才发答案（不能保证全都对）；第三：希望大家认真学好数分高代，有兴趣和学长同学讨论或者经营这个公众号的请QQ我或者公众号后台

1. 对任意实数都成立：

再放缩一步即得答案

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2.（伯努利不等式）设,则成立不等式：


推广：当上方不等式仍然成立

利用经典不等式：

然后对比一下，当时，

当时，注意到：,所以,但是又因为,所以还是有：

至于等号在哪里可以取得到，自己检查一下（推广的情形自己证明）

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3.证明：

推广由,证明：

基本不等式：

至于推广一样的做法，就是求和有点麻烦需要用到的求和

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4.已知约等于,证明：时

推广：证明是单调递增的

证明左边的式子乘以是单调递减的

然后取倒数即得答案

然后就是递增的最小值大于递减的最大值即可

推广的自己尝试

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5.个分数，的分母都大于0，证明：介于这些分数的最大值和最小值之间

对这里边的式子进行排序不影响它的最大值和最小值具体的值，所以不妨设就是最小值，所以有：

, 即得：,所以：

就是把从1取到然后叠加即可，整理下把挪到右边，挪到左边就是题目所证

6.设是两个非空有界的实数集

(1):记.证明：

(2):记证明：

(3)：记证明：如果中的数都是非负的，则：

(1):任取：,叙述上确界的定义：对于任意的,对于任意的,使：,将不等号变一下，即得：

比照下确界的定义即得：

(2):只需证明：都是集合的上确界即可：由记号可知是上确界,下证也是上确界即可；

且对任意的,存在,使,即

符合上确界定义，故

(3):注意到都是有界的故设,用上面类似的证法；

由记号可知使得上确界，下证也是它的上确界

对于任意的,且保证

那么

注意到我们事先的约定所以：

注意到的任意性，所以这也符合上确界的定义(如果你觉得前面有个不妥，想想怎么改进)

Remark：这个结论并不是显然的，注意到题目有约束条件，即：为非负集合，想一想如果不是非负的，结论是否仍然成立，如果是给出证明，如果不是请举出反例