一()
设 和 是三个单位向量, 且
证明 :
求 :
略
.
二()
若 求矩阵 .
左乘:,得:
可逆,所以:
三()
设四元一次方程组(I):
已知另一四元齐次线性方程组 (II) 的一个基础解系为
求 (I) 的一个基础解系. 当 为何值时, (I) 和 (II) 有公共非零解?求出全部的公共解. 当 为何值时, (I) 和 (II) 同解?
化简得:
,所以基础解系为:,由四个基础解系组成的行列式不为0,解得:,下文同解.既然同解,所有由基础解系线性组合的解都是公共解
四:()
设 是一个 级方阵, 其中所有元素均为整数, 考 虑多项式
求 的次数, 首项系数和常数项.
证明如果存在 使得 则
证明线性方程组 只有零解.
不难的到:,,所以次数次,首项系数为1,常数项为:
若为有理根:,互素,则有:,故得:是整数.
因为所有有理根都是整数根,所以:不是根,那么,即仅有零解.
五:() 设 矩阵 的秩是 任取 的 个线性无 关的行和 个线性无关的列, 证明由这 个行和 个列交叉处形成的 级子式不等于零.
存在可逆阵使:
不妨假设前即为题设所要求的,否则总可以通过行列初等变换移至前处,用表示前所以:
又因为可逆阵乘矩阵不改变矩阵的秩,所以下边的秩为(为的前),所以:
六:()
设 是同级方阵, 证明
问上式结果是否为:.
所以:,一般不等于:,当时相等.
七:()
设 是 级反对称矩阵, 即 已知 是 可逆矩阵, 中 是 维列向量, 是一个数.
证明 是偶数. 证明 可逆的充分必要条件是
,当为奇数时。,所以为偶数.
引理:斜对称的可逆矩阵仍是斜对称矩阵.
由于为斜对称矩阵,所以,所以:,故可逆的充要条件是.
八:()
证明正定矩阵中绝对值最大的元素一定是正数, 该元素必在其主对角线上.
每一个二阶主子式都大于0,所以:
遍历命题得证,且通过取定,可得:(正定二次型定义),命题得证.
九:(15')已知 级矩阵 的每行元素之和均为 每列元素之和也为0,按如下>步骤证明的所有元素的代数余子式都相等
证明 在 条件下证明结论成立. 设
求 的基础解系; 证明 的列向量都是 的解; 证明 证明该情况下结论也成立.
(1):将每一行都加到第一行上所以的第一行为0,行列式为0,秩小于;
(2):故每一个 阶子式都为0;
(3.1):当时为齐次线性方程组的解,故基础解系为(秩为,解空间维数为1).
(3.2):,所以命题得证.
(3.3):根据定义直接判断:的元素就是,命题得证.
(3.4):由上可知的每一列都是倍式,又因为:每一列也是如此,且,进行比对即得答案.
普通班最后一题:若 阶实方阵 满足 则称为正交矩阵. 证明: 不存在 阶正交矩阵 满 足 其中 是非零常数
用反证法, 设存在 阶正交阵 使得 在等式两边同 时左乘 右乘 可得 从而 两边同时取迹, 可得
矛盾
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